Stelsels lineaire vergelijkingen: Van stelsels naar matrices en rijreductie

Theorie Stelsels lineaire vergelijkingen oplossen via Gauss-eliminatie

Dankzij het voorafgaande hebben we nu de volgende methode om een stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen.

Oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen met Gauss-eliminatie Een stelsel lineaire vergelijkingen kan als volgt opgelost worden:

  • vorm de bijpassende aangevulde matrix
  • herleid de matrix tot de gereduceerde trapvorm met Gauss-eliminatie
  • lees de oplossing af van de gereduceerde trapvorm
  • vorm de bijpassende aangevulde matrix: De aangevulde matrix bevat alle informatie over het stelsel, op de namen van de variabelen na. We onthouden die namen en de volgorde die gekozen is voor de kolommen. Als het een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen is kun je de bijpassende coëfficiëntenmatrix gebruiken want de nulkolom rechts in de aangevulde matrix voegt dan niets toe aan de berekening.
  • herleid de matrix tot gereduceerde trapvorm: Bij het vegen (reduceren) gaat de gegeven matrix over in de aangevulde matrix van een stelsel vergelijkingen dat equivalent is met het oorspronkelijke stelsel. Dit geldt dus ook voor de matrix in gereduceerde trapvorm.
  • lees de oplossingen af van de gereduceerde trapvorm: De oplossing is direct af te lezen van de aangevulde matrix in gereduceerde trapvorm, zoals hieronder beschreven staat.

Om de oplossing van een stelsel te beschrijven waarvan de aangevulde matrix in gereduceerde trapvorm staat, onderscheiden we drie gevallen:

Oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen Stel dat de aangevulde matrix van een stelsel van \(m\) lineaire vergelijkingen in \(n\) onbekenden onderstaande gereduceerde trapvorm met \(m-r\) nulrijen onderaan heeft. \[ \left(\,\begin{array}{ccccccccccccccc|c}
0 & \cdots & 0 & 1 & \ast & \cdots & \ast & 0 & \ast & \cdots & \ast & 0 & \ast & \cdots & \ast & b_1\\
0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \ast & \cdots & \ast & 0 & \ast & \cdots & \ast & b_2\\
0 & \vdots & 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 & \ast & \vdots & \ast & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \ast & \cdots & \ast & b_r\\
0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & b_{r+1}\\
\vdots & & & & & & & & & & & & & & \vdots & \vdots \\
0 & \cdots & & & & & & & & & & & & \cdots & 0 & b_m\end{array}\,\right)
\]

Dan heeft dit stelsel heeft

  • geen oplossingen dan en slechts dan als minstens één van de getallen \(b_{r+1}, \ldots, b_m\) ongelijk aan nul is;
  • precies één oplossing dan en slechts dan als in de gereduceerde trapvorm geen kolom met #\ast# voorkomt, dat wil zeggen: dan en slechts dan als \(b_{r+1}= \cdots =b_m=0\) en \(r=n\); in dit geval is de unieke oplossing \(\rv{b_1,\ldots,b_n}\).
  • oneindig veel oplossingen dan en slechts dan als \(b_{r+1}= \cdots =b_m=0\) en \(r\lt n\); er zijn dan \(n-r\) vrij te kiezen onbekenden; kies een parameter voor elke onbekende die correspondeert met een kolom met #\ast# in de gereduceerde trapvorm. Trek het scalaire product met die parameter van de bijbehorende kolomvector af van de laatste kolomvector en verwijder de gebruikte kolom. Dan blijft een aangevulde matrix in gereduceerde trapvorm over van een stelsel lineaire vergelijkingen met onbekenden die corresponderen met een kolom die een leidend element #1# heeft in de oorspronkelijke gereduceerde trapvorm. Als we de parameters opvatten als constanten, dan voldoet de overgebleven matrix aan de voorwaarden voor een unieke oplossing. Voor elke keuze van de \(n-r\) vrije parameters vinden we dus een unieke oplossing.

Een stelsel dat een oplossing heeft, heet ook wel consistent. Een onoplosbaar stelsel heet ook wel strijdig of inconsistent.

In het geval van oneindig veel oplossingen kan de oplossing geschreven worden als de som \[\vec{v}_0+\lambda_1\cdot \vec{v}_1+\cdots+ \lambda_{n-r}\cdot \vec{v}_{n-r}\]van een constante vector #\vec{v}_0#, en de scalaire veelvouden van constante vectoren #\vec{v}_i# met een vrije parameter voor #i=1,\ldots,n-r#. De vector #\vec{v_0}# heet een steunvector en de rest van de som stelt de oplossing voor van het bijbehorende homogene stelsel.

Zoals we later zullen zien, heet het aantal vrije parameters heet ook wel de dimensie van de oplossing. Dit komt overeen met de interpretatie van een oplossing met één vrije parameter als een lijn en een oplossing met twee vrije parameters als een vlak.

Hier is een tweetal voorbeelden die deze oplossingsprocedure illustreert.

  1. 1
  2. 1
Los het volgende stelsel lineaire vergelijkingen op met behulp van Gauss-eliminatie. \[ \left\{\begin{array}{rrrrrl} x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & =\; 2\\ & & x_2 & + & 2x_3 & = \;1\\ 3x_1 & + & x_2 & + & x_3 & =\; 3 \end{array}\right. \]
Het stelsel \[ \left\{\begin{array}{rrrrrl} x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & =\;2\\ & & x_2 & + & 2x_3 & =\;1\\ 3x_1 & + & x_2 & + & x_3 & =\;3 \end{array}\right. \] heeft de volgende matrixrepresentatie: \[ \left(\,\begin{array}{rrr|r}
1 & 2 & 3 & 2\\
0 & 1 & 2 & 1\\
3 & 1 & 1 & 3
\end{array}\,\right)
\] Vegen naar de gereduceerde trapvorm levert
\[
\left(\,\begin{array}{rrr|r}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & -\,1\\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\,\right)
\]
Het systeem heeft precies één oplossing, namelijk \[ \cv{x_1\\x_2\\x_3}=
\left(\!\!\begin{array}{r} 1\\-1\\1\end{array}\right)\]
Nieuw voorbeeld

About us ⋅ Help ⋅ Privacy ⋅ Terms and conditions
Copyright © 2023 SOWISO