Oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen Stel dat de aangevulde matrix van een stelsel van \(m\) lineaire vergelijkingen in \(n\) onbekenden onderstaande gereduceerde trapvorm met \(m-r\) nulrijen onderaan heeft. \[ \left(\,\begin{array}{ccccccccccccccc|c}
0 & \cdots & 0 & 1 & \ast & \cdots & \ast & 0 & \ast & \cdots & \ast & 0 & \ast & \cdots & \ast & b_1\\
0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \ast & \cdots & \ast & 0 & \ast & \cdots & \ast & b_2\\
0 & \vdots & 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 & \ast & \vdots & \ast & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \ast & \cdots & \ast & b_r\\
0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & b_{r+1}\\
\vdots & & & & & & & & & & & & & & \vdots & \vdots \\
0 & \cdots & & & & & & & & & & & & \cdots & 0 & b_m\end{array}\,\right)
\]

Dan heeft dit stelsel heeft

• geen oplossingen dan en slechts dan als minstens één van de getallen \(b_{r+1}, \ldots, b_m\) ongelijk aan nul is;
• precies één oplossing dan en slechts dan als in de gereduceerde trapvorm geen kolom met #\ast# voorkomt, dat wil zeggen: dan en slechts dan als \(b_{r+1}= \cdots =b_m=0\) en \(r=n\); in dit geval is de unieke oplossing \(\rv{b_1,\ldots,b_n}\).
• oneindig veel oplossingen dan en slechts dan als \(b_{r+1}= \cdots =b_m=0\) en \(r\lt n\); er zijn dan \(n-r\) vrij te kiezen onbekenden; kies een parameter voor elke onbekende die correspondeert met een kolom met #\ast# in de gereduceerde trapvorm. Trek het scalaire product met die parameter van de bijbehorende kolomvector af van de laatste kolomvector en verwijder de gebruikte kolom. Dan blijft een aangevulde matrix in gereduceerde trapvorm over van een stelsel lineaire vergelijkingen met onbekenden die corresponderen met een kolom die een leidend element #1# heeft in de oorspronkelijke gereduceerde trapvorm. Als we de parameters opvatten als constanten, dan voldoet de overgebleven matrix aan de voorwaarden voor een unieke oplossing. Voor elke keuze van de \(n-r\) vrije parameters vinden we dus een unieke oplossing.

Een stelsel dat een oplossing heeft, heet ook wel consistent. Een onoplosbaar stelsel heet ook wel strijdig of inconsistent.