Stelsels lineaire vergelijkingen: Van stelsels naar matrices en rijreductie
Stelsels met een parameter
Tot nu toe hebben we alleen gekeken naar stelsels lineaire vergelijkingen waarin de coëfficiënten reële getallen waren. Maar in de praktijk kom je regelmatig ook stelsels tegen waarin één of meerdere parameters in de coëfficiëntenmatrix en/of de rechterkant van een vergelijking staan.
Als je een dergelijk stelsel moet oplossen, dan moet je in feite dus oneindig veel stelsels tegelijk oplossen, namelijk een stelsel per waarde van de parameter(s). Voor veel parameters leveren rijoperaties in de Gauss-eliminatie gelijkwaardige stelsels op, maar regelmatig moet je voor speciale parameterwaarden extra opletten dat je niet per ongeluk deelt door nul. Gevalonderscheidingen zijn dan niet te voorkomen.
We geven drie voorbeelden.
De aangevulde matrix kunnen we ook met de parameters opschrijven \[\left(\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & -3 & a \\ 2 & -1 & 4 & b\\ 4 & 3 & -2 & c\end{array}\right)\] en we kunnen elementaire rijoperaties toepassen. \[\begin{array}{rcll} \left(\begin{array}{rrr|c}1 & 2 & -3 & a \\ 2 & -1 & 4 & b\\ 4 & 3 & -2 & c\end{array}\right) & \sim & \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 2 & -3 & a\\ 0 & -5 & 10 & b-2a \\ 0 & -5 & 10 & c-4a \end{array}\right) &\blue{\begin{array}{r} \phantom{x}\\ R_2-2R_1\\ R_3-4R_1\end{array}}
\\ \\ &\sim & \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 2 & -3 & a\\ 0 & -5 & 10 & b-2a \\ 0 & 0 & 0 & c-b-2a \end{array}\right) &\blue{\begin{array}{r} \phantom{x}\\ \phantom{x}\\ R_3- R_2\end{array}}\end{array}\] Nu de aangevulde matrix bij het stelsel in trapvorm gebracht is, zien we dat er geen oplossing is als \(c-b-2a\neq 0\). Het stelsel heeft alleen een oplossing onder de voorwaarde dat \(c-b-2a=0\) oftewel als \(c=2a+b\). In dit geval zal het stelsel oneindig veel oplossingen hebben.
Door de Gauss-eliminatie onder de voorwaarde dat \(c=2a+b\) voor te zetten kunnen we ook een algemene oplossing vinden: \[\begin{array}{rcll} \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 2 & -3 & a\\ 0 & -5 & 10 & b-2a \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \sim & \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 2 & -3 & a\\ 0 & 1 & -2 & \frac{2}{5}a-\frac{1}{5}b \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \blue{\begin{array}{r} \phantom{x}\\ -\frac{1}{5}R_2\\ \phantom{x}\end{array}}\\ \\ &\sim & \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 0 & 1 & \frac{1}{5}a+\frac{2}{5}b\\ 0 & 1 & -2 & \frac{2}{5}a-\frac{1}{5}b \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) &\blue{\begin{array}{r} R_1- 2R_2\\ \phantom{x}\\ \phantom{x} \end{array}}\end{array}\] Onder de voorwaarde \(c=2a+b\) is de algemene oplossing dus \[\cv{x\\y\\z} = \cv{\frac{1}{5}a+\frac{2}{5}b \\ \frac{2}{5}a-\frac{1}{5}b\\0} + r\cv{-1\\2\\1}\] met vrije variabele \(r\).
