Natuurlijke getallen De rij $0, 1,2,3,\ldots$ is de rij van de natuurlijke getallen. Dit zijn de getallen om mee te tellen of te indexeren. De verzameling van natuurlijke getallen noteert men met $\mathbb{N}$. Dus $$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}$$

Gehele getallen Het rekenen met natuurlijke getallen gaat goed als je deze getallen bij elkaar optelt. Maar het aftrekken van getallen geeft soms problemen. Wat is bijvoorbeeld de uitkomst van $1-2$ of $2-3$ en bedoelen we daar hetzelfde getal mee? Met andere woorden, wat is de oplossing van de vergelijking $x+2=1$ of de vergelijking $x+3=2$? De wens om dergelijke vergelijkingen te kunnen oplossen geeft aanleiding tot de invoering van de verzameling van gehele getallen, aangeduid met $\mathbb{ℤ}$.

De gehele getallen kun je op een getallenlijn uitzetten: begin met een eerste punt op een rechte lijn en geef dit het naamkaartje 0 en kies een tweede punt dat het naamkaartje 1 krijgt. We spreken af dat de afstand tussen deze twee punten gelijk is aan 1. Schrijd nu voort met passen van lengte 1 en zet steeds een volgend geheel getal als naamkaartje neer. Elk nummertje heeft een opvolger. Doe dit nu ook in de andere richting en je krijgt de volgende getallenlijn:

Dus $$\mathbb{ℤ}=\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$$ De getallen uit deze verzameling kun je optellen, aftrekken en vermenigvuldigen met elkaar.

Rationale getallen In $\mathbb{ℤ}$ kunnen we zonder problemen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. Maar het delen van twee gehele getallen levert niet altijd een geheel getal op. Wat is bijvoorbeeld de uitkomst van $1\div 2$ of $2\div 4$ en bedoelen we daar hetzelfde getal mee ? Met andere woorden, wat is de oplossing van de vergelijking $2x=1$ of de vergelijking $4x=2$? De wens om dergelijke vergelijkingen te kunnen oplossen geeft aanleiding tot de invoering van de verzameling van rationale getallen, aangeduid met $\mathbb{Q}$.

Ook de rationale getallen, dat wil zeggen de getallen die als een breuk geschreven kunnen worden, kunnen op de getallenlijn geplaatst worden. In onderstaande tekening staat de constructie van een paar van deze punten.

In een breuk staan twee gehele getallen, de teller en de noemer, gescheiden door een horizontale of schuine deelstreep. In bovenstaand plaatje staat een rationaal getal op de getallenlijn getekend dat als breuk $\tfrac{2}{3}$ met teller $2$ en noemer $3$ aangeduid is. Maar we hadden natuurlijk ook het punt met naamkaartje 6 op de verticale lijn door 0 op de horizontale getallenlijn met het punt met naamkaartje 1 op de horizontale lijn kunnen verbinden en parallelle lijnen kunnen tekenen. Dan hadden we het punt met het eerdere naamkaartje $\tfrac{2}{3}$ ook van het naamkaartje $\tfrac{4}{6}$ kunnen voorzien.

Met andere woorden, de schrijfwijze van een rationaal getal als breuk is niet uniek: $\tfrac{2}{3}$ en $\tfrac{4}{6}$ stellen bijvoorbeeld hetzelfde rationale getal voor en we schrijven $\tfrac{2}{3}=\tfrac{4}{6}$. In het algemeen: als je de teller en noemer van een breuk met hetzelfde gehele getal (ongelijk aan nul) vermenigvuldigt of deelt, dan verandert der waarde van de breuk niet. Delen van teller en noemer door dezelfde factor groter dan 1 heet vereenvoudigen. $\tfrac{4}{6}$ is bijvoorbeeld te vereenvoudigen tot $\tfrac{2}{3}$ door de teller en noemer door 2 te delen.

We spreken van een onvereenvoudigbare breuk als

• de grootste gemene deler (ggd) van teller en noemer gelijk aan 1 is,
• de noemer positief is, en
• de noemer gelijk aan 1 is als de teller gelijk aan 0 is.

Dus $$\mathbb{Q}=\Bigl\{\,\frac{t}{n} \Bigm| t, n \in \mathbb{ℤ}, n\neq 0\,\Bigr\}$$ De getallen uit deze verzameling kun je optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met elkaar.

Reële getallen Op de getallenlijn zijn nog andere getallen dan rationale getallen te construeren, bijvoorbeeld met passer en liniaal het getal $\sqrt{2}$. Bekijk maar eens het vierkant met lengte 1.

Uit de Stelling van Pythagoras volgt dat het kwadraat van de lengte van het diagonale lijnstuk gelijk is aan de som van de kwadraten van twee zijden van het vierkant, oftewel de lengte van het diagonale lijnstuk is gelijk aan $\sqrt{2}$. Met een passer kun je deze lengte uitzetten op de getallenlijn.

Alle getallen op de getallenlijn vormen samen de verzameling van reële getallen, aangeduid met $\mathbb{R}$. Een reëel getal dat niet rationaal is noemen we een irrationaal getal. Bekende irrationale getallen zijn $\pi\approx 3.141592\ldots$ en het grondtal van de natuurlijke logaritme $e\approx 2.71828\ldots$.

Zoals je ziet zijn reële getallen te beschrijven door ze met decimale getallen te benaderen. Als zo'n decimale ontwikkeling een reeks opeenvolgende getallen bevat die steeds herhaald wordt, dan stelt dit een rationaal getal voor. Zo niet, dan is het getal irrationaal.