Stel je eens voor dat je nog niets van reële getallen weet en alleen rationale getallen kent. Daarmee kan je optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Een vergelijking zoals \[2x+3=9\] oplossen is geen probleem. Maar vroeg of laat loop je tegen een vergelijking op zoals \[x^2=2\] en misschien bewijs je zelfs dat er geen rationaal getal bestaat dat oplossing is van deze vergelijking. Hoe kun je nu verder gaan? Hoe kun je het getal \(\sqrt{2}\) introduceren en tot rekenen met \(\sqrt{2}\) komen?

De oplossing is om een nieuwe verzameling, zeg \(V\), te construeren die aan een aantal eisen voldoet.

We gaan zo'n constructie doen en deze zal een leidend voorbeeld zijn voor de introductie van complexe getallen uitgaande van de verzameling van reële getallen.

De constructie heet toevoeging van een vierkantswortel (want je kan deze methode ook gebruiken om \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), enzovoorts, toe te voegen aan het getallenstelsel). Het idee hierachter is dat we ons nu eens indenken dat er een oplossing van de vergelijking \(x^2=2\) is en gewoonweg kijken wat er gebeurt als deze oplossing toevoegen aan de rationale getallen \(\mathbb{Q}\). Als je de reële getallen al kent, dan weet je natuurlijk dat \(\sqrt{2}\) en \(-\sqrt{2}\) beiden oplossingen van de vergelijking \(x^2=2\) zijn en dat je dus \(\sqrt{2}\) aan \(\mathbb{Q}\) kunt toevoegen. Maar met het oog op de toekomstige constructie van de complexe getallen, doen we net of we deze notatie niet kennen en noteren we de (symbolische) oplossing van de kwadratische vergelijking \(x^2=2\) simpelweg met de letter \(\alpha\). We maken ons niet eens druk over de keuze van positieve of negatieve wortel, maar gebruiken in het vervolg bij berekeningen alleen de eigenschap \(\alpha^2=2\).

Wat betekent het nu dat we \(\alpha\) aan de rationale getallen toevoegen? We willen zeker een rationaal getal met \(\alpha\) kunnen vermenigvuldigen en dit geeft getallen van de vorm \(y\cdot \alpha\). We willen natuurlijk ook getallen kunnen optellen en daardoor krijgen we getallen van de vorm \(x+y\cdot \alpha\) met \(x,y\in\mathbb{Q}\). Een welkome verrassing is dat dit volstaat en er niet meer getallen nodig zijn om goed te kunnen rekenen. De gangbare notatie voor deze verzameling is \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\). Omdat de rekenregels van de rationale getallen zoveel mogelijk moeten gelden zijn alleen de volgende definities van optelling en vermenigvuldiging mogelijk:

Verder moet nog gelden dat we in de nieuwe getallenverzameling nog kunnen delen door een getal ongelijk aan nul. De formule wordt ingewikkeld en zullen we daarom eerst aan de hand van een voorbeeld toelichten. We maken gebruik van de volgende rekenregel \[(x+y\cdot \alpha)\cdot (x-y\cdot \alpha) = x^2-y^2\cdot \alpha^2=x^2-2y^2\] Het rechterlid is altijd een rationaal getal. Deze eigenschap gaan we bij deling gebruiken.

Bovenstaand voorbeeld moge onderstaande algemene methode voor deling verduidelijken. \[\frac{x_1+y_1\cdot \alpha}{x_2+y_2\cdot \alpha}=\frac{(x_1+y_1\cdot \alpha)\cdot(x_2-y_2\cdot \alpha)}{(x_2+y_2\cdot \alpha)\cdot(x_2-y_2\cdot \alpha)}\] De teller werkt, met de eigenschap dat \(\alpha^2=2\), uit tot \[x_1\cdot x_2 -2\cdot y_1\cdot y_2+ (-x_1\cdot y_2+y_1\cdot x_2)\cdot \alpha\] De noemer werkt, met de eigenschap dat \(\alpha^2=2\), uit tot \[x_2^2 -2\cdot y_2^2\] In totaal vinden we dus de volgende definitie.