Complexe getallen: Constructie van complexe getallen en arithmetiek
Imaginaire getallen
We hebben eerder gezien dat adjunctie van een vierkantswortel aan de verzameling rationale getallen een nieuwe getallenverzameling oplevert waarin een zekere kwadratische vergelijking wel een oplossing heeft. Bijvoorbeeld, in \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) heeft de vergelijking \(x^2=2\) een oplossing.
Op een soortgelijke wijze gaan we de verzameling reële getallen uitbreiden zodanig dat de vergelijking \(x^2=-1\) wel een oplossing heeft. Deze nieuwe verzameling heet de verzameling van complexe getallen en wordt aangeduid met de schoongeschreven letter \(\mathbb{C}\).
Verlanglijst van eigenschappen van complexe getallen
Onze verlanglijst van eigenschappen voor \(\mathbb{C}\) is:
- De reële getallen moeten deel uitmaken van \(\mathbb{C}\) (of op zijn minst met een deelverzameling te identificeren zijn).
- Je moet getallen in \(\mathbb{C}\) kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen; het resultaat van zo'n operatie moet weer een element zijn van \(\mathbb{C}\).
- De rekenregels van de reële getallen moeten zoveel mogelijk gelden.
- De vergelijking \(x^2=-1\) moet een oplossing in \(\mathbb{C}\) hebben.
Er bestaat dus in de complexe getallen \(\mathbb{C}\) een getal waarvoor geldt dat \(x^2=-1\). Dit getal zouden we \(\sqrt{-1}\) kunnen noemen. Maar wiskundigen gebruiken hiervoor het symbool \(\mathrm{i}\), zoals gegeven in de volgende definitie:
Imaginaire eenheid
De imaginaire eenheid \(\mathrm{i}\) is een getal met de eigenschap dat \(\mathrm{i}^2 = -1 \).
Waarom schrijven we eigenlijk liever \(\mathrm{i}\) in plaats van \(\sqrt{-1}\) ? Een reden daarvoor is dat de belangrijke rekenregel voor de wortels van positieve getallen \[\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=\sqrt{x\cdot y}\] niet geldt voor de wortels van negatieve getallen. Stel dat deze regel wel zou gelden en neem \(x=-1\) en \(y=-1\), dan zouden we de volgende tegenspraak krijgen: \[ -1 = \mathrm{i} \cdot \mathrm{i} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot -1} = \sqrt{1} = 1 \] Met de wortelnotatie is de kans op dit soort fouten groter dan bij een strak geregelde formulemanipulatie met de imaginaire eenheid \(\mathrm{i}\).
Als we vastgelegd hebben dat \(\mathrm{i}\) is een getal met de eigenschap dat \(\mathrm{i}^2 = -1\), dan heeft het getal \(-\mathrm{i}\) dezelfde eigenschap.
We willen nog wel opmerken dat ingenieurs voor de complexe eenheid vaak het symbool \(\mathrm{j}\) gebruiken omdat de letter i in elektriciteitsleer al vergeven is als symbool voor stroomsterkte. In deze cursus houden we het bij de gebruikelijke wiskundige notatie.
De derde wens op ons verlanglijst is dat de rekenregels van de reële getallen zoveel mogelijk moeten gelden. We passen dit toe op het volgende:
\(\sqrt{x}\cdot \sqrt{y} = \sqrt {x\cdot y }\) voor positieve reële getallen \(x\) en \(y\).
We denken ons in dat bovenstaande regel ook goed werkt voor het geval \(x\) of \(y\) een negatief reëel getal is (niet beiden negatief!). Nemen we \(y=-1\) en \(x\) een positief getal, dan komen we uit op de volgende definitie:
De wortel van een negatief reëel getal
Voor een positief reëel getal \(x\) geldt: \[\sqrt{-x}=\sqrt{x}\,\mathrm{i} \]
Voorbeelden laten zien hoe je deze stelling kan toepassen:
\sqrt{-17} &=\sqrt{17 \cdot -1} &\color{blue}{\text{product van reële getallen}}\\
&=\sqrt{17} \cdot \sqrt{-1} &\color{blue}{17\text{ is positief}}\\
&=\sqrt{17} \,\mathrm{i} &\color{blue}{\sqrt{-1}=\mathrm{i}}
\end{aligned}\]
De constructie van complexe getallen gaat door toevoeging van de imaginaire eenheid \(\mathrm{i}\) aan de reële getallen. Wat betekent het nu dat we \(\mathrm{i}\) aan de reële getallen toevoegen? We willen zeker een reëel getal met \(\mathrm{i}\) kunnen vermenigvuldigen en dit geeft getallen van de vorm \(y\,\mathrm{i}\).
Imaginair getal
Een getal van de vorm \(y\,\mathrm{i}\) met \(y\) een reëel getal en met \(\mathrm{i}^2=-1\) heet een imaginair getal.
Met de imaginaire getallen kunnen we al rekenen, bijvoorbeeld machtsverheffen met positieve gehele exponenten. We hoeven dan alleen de gebruikelijke rekenregels te hanteren en de eigenschap \(\mathrm{i}^2=-1\) toe te passen om een resultaat te vereenvoudigen.
\mathrm{i}^{25} &= (\mathrm{i}^2)^{12}\cdot \mathrm{i} &\phantom{abcxyz}\color{blue}{\text{rekenregel voor machten}}\\
&= (-1)^{12}\cdot \mathrm{i} &\phantom{abcxyz}\color{blue}{\mathrm{i}^2=-1} \\
&=\ii & \phantom{abcxyz}\color{blue}{\text{standaardrepresentatie}}
\end{aligned}\]
Mathcentre video
Motivating - Study (6:15)
