Complexe getallen: Constructie van complexe getallen en arithmetiek
Complexe getallen: optellen en vermenigvuldigen
We willen natuurlijk ook complexe getallen kunnen optellen, i.h.b. een reëel getal en een imaginair getal kunnen optellen, en daardoor krijgen we getallen van de vorm \(x+y\,\mathrm{i}\) met \(x,y\in\mathbb{R}\). De wens om elk reëel getal ook als complex getal te kunnen beschouwen is hiermee voldaan: we spreken af dat we reële getallen tot \(\mathbb{C}\) laten behoren door ze voor te stellen als \(x+0\,\mathrm{i}\), (met \(x\in\mathbb{R}\)), en dat we gewoon \(x\) zullen schrijven i.p.v. \(x+0\,\mathrm{i}\).
De imaginaire getallen \(y\,\mathrm{i}\) zijn in korte notatie geschreven in plaats van \(0+y\,\mathrm{i}\). Andere vereenvoudigde schrijfwijzen zijn \(x+\mathrm{i}\) en \(x-\mathrm{i}\) voor \(x+1\,\mathrm{i}\) en \(x-1\,\mathrm{i}\). In plaats van \(x+y\,\mathrm{i}\) schrijven we ook wel \(x+\mathrm{i}\,y\) wanneer verwarring dreigt; denk bijvoorbeeld aan \(\mathrm{i}\sqrt{2}\) in plaats van \(\sqrt{2}\mathrm{i}\).
Definities De standaardvorm van een complex getal is \(x+y\,\mathrm{i}\) met \(x,y\in\mathbb{R}\).
\(x\) heet het reële deel van het complexe getal en \(y\) noemen we het imaginaire deel (let op: \(y\) en niet \(y\,\mathrm{i}\)).
Hiervoor zijn speciale notaties ingevoerd: \[\mathrm{Re}(x+y\,\mathrm{i})=x\qquad \mathrm{Im}(x+y\,\mathrm{i})=y\] In boeken kun je ook aantreffen: \[\Re(x+y\,\mathrm{i})=x\qquad \Im(x+y\,\mathrm{i})=y\]
Voorbeelden van complexe getallen \[3-2\,\mathrm{i}\qquad \frac{1}{2}+\mathrm{i}\sqrt{3}\qquad \pi+\mathrm{i}\] Het reële en imaginaire deel van \(3-2\,\mathrm{i}\) zijn respectievelijk \(3\) en \(-2\). We schrijven dan: \[\mathrm{Re}(3-2\,\mathrm{i})=3\qquad \mathrm{Im}(3-2\,\mathrm{i})=-2\] Merk op dat het imaginaire deel van \(3-2\,\mathrm{i}\) niet gedefinieerd is als \(-2\,\mathrm{i}\). Het imaginaire deel van een complex getal is dus geen imaginair getal.
\(\phantom{x}\)
Een welkome verrassing is dat dit bedachte bouwsel volstaat en er niet meer getallen nodig zijn om goed te kunnen rekenen. Omdat de rekenregels van de reële getallen zoveel mogelijk moeten gelden zijn uiteindelijk alleen de volgende definities van optelling en vermenigvuldiging mogelijk:
- Het optellen gebeurt componentsgewijs, waarbij we \(x\) en \(y\) als de componenten van het getal \(x+y\,\mathrm{i}\) beschouwen: \[(x_1+y_1\,\mathrm{i})+(x_2+y_2\,\mathrm{i})= (x_1+x_2) + (y_1+y_2)\,\mathrm{i}\]
- Voor het vermenigvuldigen moeten we 'gewoon' de haakjes wegwerken en gebruik maken van \(\mathrm{i}^2=-1\): \[\begin{aligned}(x_1+y_1\,\mathrm{i}) (x_2+y_2\,\mathrm{i}) &= (x_1 x_2) + (x_1 y_2+y_1\cdot x_2)\,\mathrm{i}+ y_1 y_2\,\mathrm{i}^2\\ &= (x_1 x_2- y_1 y_2) + (x_1 y_2+y_1 x_2)\,\mathrm{i}\end{aligned}\]
Bekijk voorbeelden van optellen en vermenigvuldigen totdat je het rekenen met complexe getallen door hebt en snapt dat de gebruikelijke rekenregels voor haakjes wegwerken toegepast moeten worden in samenspel met de rekenregel \(\mathrm{i}^2=-1\).
(3+4\,\mathrm{i})+(-2-4\,\mathrm{i})&= (3-2) + (4-4)\,\mathrm{i} \\ &\phantom{abcxyz}\color{blue}{\text{reële en imaginaire delen componentsgewijs opgeteld}} \\
&=1
\\ &\phantom{abcxyz}\color{blue}{\text{vereenvoudiging tot standaardvorm}}
\end{aligned}\]
De rekenregels voor optellen en vermenigvuldigen van complexe getallen zijn ook als volgt samen te vatten:
Rekenregels voor reële en imaginaire delen Elk tweetal complexe getallen #z#, #w# voldoet aan de volgende gelijkheden:
- #\mathrm{Re}(z+w)=\mathrm{Re}(z)+\mathrm{Re}(w)#
- #\mathrm{Re}(z\cdot w)=\mathrm{Re}(z)\cdot \mathrm{Re}(w)-\mathrm{Im}(z)\cdot\mathrm{Im}(w)#
- #\mathrm{Im}(z+w)=\mathrm{Im}(z)+\mathrm{Im}(w)#
- #\mathrm{Im}(z\cdot w)=\mathrm{Re}(z)\cdot \mathrm{Im}(w)+\mathrm{Im}(z)\cdot\mathrm{Re}(w)#
- Als #z# reëel is, dan geldt #\mathrm{Re}(z\cdot w)=z\cdot \mathrm{Re}(w)#
Mathcentre videos
Adding and Substracting (8:17)
Multiplying (8:17)
