Complexe getallen: Constructie van complexe getallen en arithmetiek
Geconjugeerde, modulus, en delen van complexe getallen
Complexe getallen worden ook vaak genoteerd met de letter \(z\), dus \(z=x+y\,\mathrm{i}\).
Geconjugeerde De complex geconjugeerde van \(z=x+y\,\mathrm{i}\), ook wel kortaf geconjugeerde van \(z\) genoemd en meestal genoteerd met \(\overline{z}\) of \(z^{\ast}\), wordt gedefinieerd als \(\overline{z}=x-y\,\mathrm{i}\).
Met verschillende combinaties \(z\) en \(\overline{z}\) is iets bijzonders aan de hand en dit ben je misschien al in de opgaven over optellen en vermenigvuldigen van complexe getallen tegen gekomen; zo niet geven we hieronder nog wat voorbeelden.
Wanneer je voldoende voorbeelden bekeken hebt is het kwartje vast al gevallen: de som en het product van een complex getal met zijn geconjugeerde is een reëel getal. Sterker nog, voor het product geldt het volgende:
Voor elk complex getal \(z\) geldt \[z\cdot \overline{z}=\bigl(\mathrm{Re}(z)\bigr)^2+\bigl(\mathrm{Im}(z)\bigr)^2\]
Als \(z=x+y\,\mathrm{i}\) een complex getal in standaardvorm is, dan geldt: \[\begin{aligned} z\cdot \overline{z} &= (x+y\,\mathrm{i})\cdot (x-y\,\mathrm{i}) & \color{blue}{\text{definitie van geconjugeerde}}\\
&= x^2 - (y\,\mathrm{i})^2 & \color{blue}{\text{merkwaardig product}}\\
&= x^2-y^2\mathrm{i}^2 & \color{blue}{\text{uitwerking}}\\ &= x^2+y^2 & \color{blue}{\text{eigenschap i}^2=-1}\\
&= \bigl(\mathrm{Re}(z)\bigr)^2+\bigl(\mathrm{Im}(z)\bigr)^2 & \color{blue}{\text{definities }x=\mathrm{Re}(z)\mathrm{\;en\;}y=\mathrm{Im}(z)}\end{aligned}\]
Modulus
Voor elk complex getal \(z\) noemen we de wortel van \(z\cdot \overline{z}\) de modulus of absolute waarde van dat getal en noteren dit als \(|z|\). Voor elk complex getal \(z=x+y\,\mathrm{i}\) geldt dus: \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\).
\(\phantom{x}\)
Nu we de geconjugeerde en modulus van een complex getal kennen, kunnen we ook gemakkelijk deling van complexe getallen introduceren. Eerst maar eens het simpele voorbeeld om \(\dfrac{1}{\mathrm{i}}\) in standaardvorm te brengen. De truc bestaat er uit om teller en noemer met \(-\mathrm{i}\), de geconjugeerde van de noemer, te vermenigvuldigen en de regel \(\mathrm{i}^2=-1\) te gebruiken om het resultaat te vereenvoudigen:
\[\frac{1}{\mathrm{i}}=\frac{1}{\mathrm{i}}\cdot\frac{-\mathrm{i}}{-\mathrm{i}}=\frac{-\mathrm{i}}{-\mathrm{i}^2}=\frac{-\mathrm{i}}{-(-1)}=-\mathrm{i}\]
Voor een willekeurig complex getal \(z\) doen we het net zo, namelijk teller en noemer met de geconjugeerde van de noemer vermenigvuldigen.
\[\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\cdot \overline{z}}=\frac{ \overline{z}}{|z|^2}\] Met andere woorden, de reciproque waarde van een complex getal is een reëel veelvoud van de geconjugeerde. Helemaal uitgeschreven geldt dus:
Als \(z=x+y\,\mathrm{i}\) dan \[\begin{aligned}\frac{1}{z}&=\frac{ \overline{z}}{z\cdot \overline{z}} \\ \\ &=\frac{\overline{z}}{|z|^2} \\ \\ &= \frac{x-y\,\mathrm{i}}{x^2+y^2}\\ \\ &= \frac{x}{x^2+y^2}- \frac{y}{x^2+y^2}\cdot\mathrm{i}\end{aligned}\]
Voor twee complexe getallen \(w\) en \(z\) voeren we deling nu als volgt uit: \[\frac{w}{z}=\frac{w\cdot \overline{z}}{z\cdot \overline{z}}=\frac{1}{|z|^2}\cdot w\cdot\overline{z}\]
In uitgeschreven vorm gaat delen van twee complexe getallen dus als volgt:
Deling van complexe getallen Als \(w=u+v\,\mathrm{i}\) en \(z=x+y\,\mathrm{i}\) complexe getallen in standaardvorm zijn, dan gaat deling als volgt: \[\begin{aligned}\frac{w}{z} &= \frac{u+v\,\mathrm{i}}{x+y\,\mathrm{i}} \\ \\ &= \frac{(u+v\,\mathrm{i})\cdot (x-y\,\mathrm{i})}{(x+y\,\mathrm{i})\cdot (x-y\,\mathrm{i})}\\ \\ &= \frac{u\cdot x+v\cdot y + (x\cdot v-u\cdot y)\,\mathrm{i}}{x^2+y^2}\\ \\ &=\frac{u x+v y}{x^2+y^2} + \frac{x v-u y}{x^2+y^2}\mathrm{i}\end{aligned}\]
Deze formule hoef je niet uit het hoofd te leren; het volstaat om het achterliggende idee te kennen en te kunnen toepassen. In feite volstaat bij deling van twee complexe getallen om de teller en noemer te vermenigvuldigen met de complex geconjugeerde van de noemer, vervolgens haakjes weg te werken en gebruik te maken van de regel dat \(\mathrm{i}^2=-1\). Enkele rekenvoorbeelden doen de was.
\[\begin{aligned}
\frac{1}{2+2\,\mathrm{i}}&= \frac{1}{2+2\,\mathrm{i}}\cdot \frac{2-2\,\mathrm{i}}{2-2\,\mathrm{i}} &\color{blue}{\text{gebruik van geconjugeerde}}\\ \\
&= \frac{2-2\,\mathrm{i}}{(2+2\,\mathrm{i})\cdot(2-2\,\mathrm{i})} &\color{blue}{\text{vermenigvuldiging van breuken}}\\ \\
&= \frac{2-2\,\mathrm{i}}{2^2-(2\,\mathrm{i})^2}&\color{blue}{\text{merkwaardig product in noemer}}\\ \\
&= \frac{2-2\,\mathrm{i}}{2^2-2^2\cdot \mathrm{i}^2}&\color{blue}{\text{uitwerking van noemer}}\\ \\
&=\frac{2-2\,\mathrm{i}}{2^2+2^2}&\color{blue}{\text{eigenschap i}^2=-1}\\ \\
&=\frac{2-2\,\mathrm{i}}{4+4}&\color{blue}{\text{uitwerking van noemer}}\\ \\
&=\frac{2-2\,\mathrm{i}}{8}& \color{blue}{\text{vereenvoudiging van noemer}}\\ \\
&=\frac{2}{8}-\frac{2}{8}\,\mathrm{i}\\ \\ &={{1}\over{4}}-{{1}\over{4}}\,\mathrm{i} & \color{blue}{\text{herschrijving tot standaardvorm}}
\end{aligned}\]
Mathcentre videos
Complex Conjugate (5:23)
Division (7:23)
