Eigenschappen van geconjugeerde en modulus

Complexe getallen: Constructie van complexe getallen en arithmetiek

Eigenschappen van geconjugeerde en modulus

Eigenschappen van complexe conjugatie

Als $z$ en $w$ twee complexe getallen zijn, dan geldt:

$\begin{aligned}\overline{z+w}&=\overline{z}+\overline{w}\\ \\ \overline{z-w}&=\overline{z}-\overline{w} \\ \\ \overline{z\cdot w}&=\overline{z}\cdot \overline{w}\\ \\ \overline{\left(\frac{z}{w}\right)}&=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}\\ \\ \overline{\overline{z}}&=z\\ \\ \text{Re}(z)&= \frac{z+\overline{z}}{2}\\ \\ \text{Im}(z)&= \frac{z-\overline{z}}{2i} \end{aligned}$

Eigenschappen van de modulus

Als $z$ en $w$ twee complexe getallen zijn, dan geldt:

$\begin{aligned} |z+w|\; &\le |z|+|w|\\ \\ |z\cdot w|&=|z|\cdot |w|\\ \\ \left|\frac{z}{w}\right|&=\frac{|z|}{|w|}\\ \\ |\overline{z}|&= |z|\end{aligned}$

Elk complex getal $\zeta$ is een oplossing van de volgende kwadratische vergelijking met reële coëfficiënten $a=\text{Re}(\zeta)$ en $r^2=|\zeta|^2$ :

$z^2-2a\cdot z+r^2 = 0\tiny.$

Elk complex getal $\zeta$ is natuurlijk een nulpunt van de kwadratische vergelijking

$(z-\zeta)\cdot(z+\overline{\zeta})=0$ We kunnen het linkerlid als volgt uitwerken:

$\begin{aligned} (z-\zeta)\cdot(z-\overline{\zeta}) &= z^2-(\zeta+\overline{\zeta})\cdot z+\zeta\cdot \overline{\zeta} \\ \\ &= z^2 - 2\cdot\text{Re}(\zeta)\cdot z+|\zeta|^2 \\ \\ &= z^2-2a\cdot z+r^2 \end{aligned}$ Alle coëfficiënten van deze tweedegraads veelterm in $z$ zijn reële getallen.