Eigenschappen van geconjugeerde en modulus

Complexe getallen: Constructie van complexe getallen en arithmetiek

Eigenschappen van geconjugeerde en modulus

Eigenschappen van complexe conjugatie

Als \(z\) en \(w\) twee complexe getallen zijn, dan geldt:

\[\begin{aligned}\overline{z+w}&=\overline{z}+\overline{w}\\ \\
\overline{z-w}&=\overline{z}-\overline{w} \\ \\
\overline{z\cdot w}&=\overline{z}\cdot \overline{w}\\ \\
\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}&=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}\\ \\
\overline{\overline{z}}&=z\\ \\
\text{Re}(z)&= \frac{z+\overline{z}}{2}\\ \\
\text{Im}(z)&= \frac{z-\overline{z}}{2i} \end{aligned}\]

Eigenschappen van de modulus

Als \(z\) en \(w\) twee complexe getallen zijn, dan geldt:

\[\begin{aligned} |z+w|\; &\le |z|+|w|\\ \\
|z\cdot w|&=|z|\cdot |w|\\ \\
\left|\frac{z}{w}\right|&=\frac{|z|}{|w|}\\ \\
|\overline{z}|&= |z|\end{aligned}\]

Elk complex getal \(\zeta\) is een oplossing van de volgende kwadratische vergelijking met reële coëfficiënten \(a=\text{Re}(\zeta)\) en \(r^2=|\zeta|^2\): \[z^2-2a\cdot z+r^2 = 0\tiny.\]

Elk complex getal \(\zeta\) is natuurlijk een nulpunt van de kwadratische vergelijking \[(z-\zeta)\cdot(z+\overline{\zeta})=0\] We kunnen het linkerlid als volgt uitwerken: \[\begin{aligned} (z-\zeta)\cdot(z-\overline{\zeta}) &= z^2-(\zeta+\overline{\zeta})\cdot z+\zeta\cdot \overline{\zeta} \\ \\ &= z^2 - 2\cdot\text{Re}(\zeta)\cdot z+|\zeta|^2 \\ \\ &= z^2-2a\cdot z+r^2 \end{aligned}\] Alle coëfficiënten van deze tweedegraads veelterm in \(z\) zijn reële getallen.