De reële getallenlijn We brengen in herinnering dat de reële getallen gepresenteerd kunnen worden als punten op een getallenlijn. Je associeert dan een speciaal punt \(O\) op een horizontale lijn met het getal \(0\) en een speciaal punt \(U\) rechts met het getal \(1\). Je laat nu punten links en rechts hiervan corresponderen met negatieve respectievelijk positieve getallen en wel zo dat een getal \(x\) correspondeert met het punt \(X\) van \(O\) op de lijn zodanig dat de lengteverhouding \(|OX|\div |OU|\) gelijk is aan de absolute waarde \(|x|\). Een reëel getal wordt dus voorgesteld als een punt op de getallenlijn op een zekere gerichte afstand van het punt horende bij het getal \(0\).

Het complexe vlak Net zo kunnen we een complexe getal meetkundig voorstellen als een punt in een vlak op gerichte afstanden van het punt horende bij het getal \(0\). De reden dat we op een vlak uitkomen is dat er op de getallenlijn gewoonweg geen plaats meer is voor imaginaire getallen. De sleutel tot de meetkundige voorstelling van complexe getallen ligt in het feit dat elk complex getal vastgelegd wordt door twee reële getallen, namelijk het reële en imaginaire deel. Voor elk van deze twee reële ingrediënten kunnen we een getallenlijn maken, maar het is veel praktischer om deze getallenlijnen gelijke schaal te geven, loodrecht op elkaar te laten staan en de nullen op de getallenlijnen te laten samenvallen zodanig dat ze de coördinaatassen van een coördinatenvlak vormen. Wat we dan in feite doen is de complexe eenheid \(i\) associëren met het punt \(I\) dat je krijgt door \(U\) (horende bij het reële getal 1) 90 graden te draaien (tegen de wijzers van de klok in).

Een getal als \(2\,\mathrm{i}\) correspondeert dan met het punt dat je uit \(I\) krijgt door twee keer de standaardlengte uit te zetten op de zogenaamde imaginaire as. We hebben dus twee assen in een coördinatenvlak: de reële as representeert de reële getallen en de imaginaire as representeert de imaginaire getallen. Een willekeurig complex getal \(z=x+y\,\mathrm{i}\) correspondeert dan met het punt \((x,y)\) in het coördinatenvlak. In deze context spreken we van het complexe vlak. Andere benamingen zijn het vlak van Gauss en het Argand diagram. In onderstaande figuur zijn een aantal punten in het complexe vlak met bijpassend complex getal getekend; meer voorbeelden kunnen hieronder bekeken worden.