Formule van Euler

Complexe getallen: Het complexe vlak

Formule van Euler

We kunnen de volgende functie van reële getallen naar complexe getallen op de eenheidscirkel definiëren: \[f(\varphi)=\cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi\] We doen nu net of we deze functie kunnen differentiëren op de gebruikelijke manier: \[\begin{aligned}f'(\varphi)&=\lim_{h\to 0}\frac{f(\varphi+h)-f(\varphi)}{h}\\ \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{\cos(\varphi+h)-\cos(\varphi)}{h}+ \mathrm{i}\cdot \lim_{h\to 0}\frac{\sin(\varphi+h)-\sin(\varphi)}{h}\\ \\ &= \cos'(\varphi)+ \mathrm{i}\sin'(\varphi)\\ \\ &= -\sin\varphi+\mathrm{i}\cos\varphi\\ \\ &= \mathrm{i}\cdot(\cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi) \\ \\ &=\mathrm{i}\cdot f(\varphi)\end{aligned}\] We zien dat de afgeleide van de functie \(f\) gelijk is aan een constante maal de functie zelf. Bij reële functies leidt dit tot de definitie van exponentiële functie. We trekkken de stoute schoenen aan en definieren de imaginaire \(e\)-macht \(e^{\,\mathrm{i}\,\varphi}\) als \(\cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi\). Dit is de beroemde formule van Leonhard Euler (1707-1783), die de \(e\)-macht op een andere manier introduceerde en bewees dat dit goed past in het grote wiskundige bouwwerk van complexe functies.

Formule van Euler \[e^{\,\mathrm{i}\,\varphi}=\cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi\] In het bijzonder geldt \[e^{\pi\,\mathrm{i}}=-1\]

Schrijf \(e^{\,\tfrac{1}{3}\!\pi\,\mathrm{i}}\) in standaardvorm.

\[\begin{aligned}e^{\,\tfrac{1}{3}\!\pi\,\mathrm{i}}&=\cos(\tfrac{1}{3}\!\pi)+\mathrm{i}\,\sin(\tfrac{1}{3}\!\pi) & \color{blue}{\text{formule van Euler}}\\ &= \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\!\sqrt{3}\,\mathrm{i}& \color{blue}{\text{vereenvoudiging}}\end{aligned}\]

Nieuw voorbeeld

In de nieuwe notatie van imaginaire \(e\)-machten ziet het vermenigvuldigen en delen van complexe getallen op de eenheidscirkel er een stuk overzichtelijker uit omdat klaarblijkelijk de gebruikelijke rekenregels van \(e\)-machten gehanteerd mogen worden.

Rekenregels voor imaginaire e-machten \[\begin{aligned} e^{\,\mathrm{i}\,\varphi_1}\cdot e^{\,\mathrm{i}\,\varphi_2}&=e^{\,\mathrm{i}\,(\varphi_1+\varphi_2)}\\ \\ \frac{e^{\,\mathrm{i}\,\varphi_1}}{e^{\,\mathrm{i}\,\varphi_2}}&=\e^{\,\mathrm{i}\,(\varphi_1-\varphi_2)}\end{aligned}\]

Schrijf \(e^{\,-\tfrac{1}{6}\!\pi\,\mathrm{i}}\cdot e^{\,-\tfrac{1}{3}\!\pi\,\mathrm{i}}\) in standaardvorm.

\[\begin{aligned}e^{\,-\tfrac{1}{6}\!\pi\,\mathrm{i}}\cdot e^{\,-\tfrac{1}{3}\!\pi\,\mathrm{i}} &=e^{\,(-\tfrac{1}{6}\!\pi\,-\tfrac{1}{3}\!\pi)\,\mathrm{i}} & \color{blue}{\text{rekenregels voor imaginaire }e\text{-machten}}\\ &= e^{\,-{{\pi}\over{2}}\,\mathrm{i}} & \color{blue}{\text{vereenvoudiging}}\\ &= \cos(-{{\pi}\over{2}})+\mathrm{i}\sin(-{{\pi}\over{2}})& \color{blue}{\text{formule van Euler}}\\ &= -\ii& \color{blue}{\text{vereenvoudiging}}\end{aligned}\]

Nieuw voorbeeld

\(\phantom{x}\)

De goniometrische functies kun je nu ook schrijven als uitdrukkingen in imaginaire \(e\)-machten; dit zijn twee andere beroemde formules van Euler.

Definitie van sinus en cosinus in termen van imaginaire e-machten \[\cos\varphi = \frac{e^{\,\mathrm{i}\,\varphi}+e^{-\mathrm{i}\,\varphi}}{2}\qquad\text{en}\qquad \sin\varphi = \frac{e^{\,\mathrm{i}\,\varphi}-e^{-\mathrm{i}\,\varphi}}{2\,\mathrm{i}}\]