Formule van de Moivre

Complexe getallen: Het complexe vlak

Formule van de Moivre

In de notatie van imaginaire \(e\)-machten zijn verschillende goniometrische formules eenvoudig af te leiden.

Formule van De Moivre \[(\cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi)^n=\cos(n\,\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(n\,\varphi)\qquad\text{voor elk geheel getal }n\]

Dit is een gevolg van de tweede gelijkheid #\left(\e^{z}\right)^n=\e^{n\cdot z}# uit de rekenregels voor imaginaire \(e\)-machten en twee toepassingen van de Formule van Euler: \[\begin{aligned}\left(\cos(\varphi)+\ii\sin(\varphi)\right)^n &=\left(\e^{\ii\,\varphi}\right)^n \\ &\phantom{abcdwxyz}\color{blue}{\text{formule van Euler}} \\ &= \e^{n\,\varphi\,\ii} \\ &\phantom{abcdwxyz}\color{blue}{\text{productregel van imaginaire }e\text{-machten}} \\ &=\cos(n\,\varphi)+\ii\,\sin(n\,\varphi)\\ &\phantom{abcdwxyz} \color{blue}{\text{formule van Euler}} \end{aligned}\]

\(\phantom{x}\)

We geven nu enkele toepassingen.

Verdubbelingsformule Pas de formule van de Moivre eens toe met \(n=2\): \[\begin{aligned}\cos(2\varphi)+\mathrm{i}\,\sin(2\,\varphi) &= (\cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi)^2 \\ &= \cos^2(\varphi) -\sin^2(\varphi) + \mathrm{i}\cdot 2\cos(\varphi)\sin(\varphi)\end{aligned}\] Dus geldt: \[\cos(2\varphi)=\cos^2(\varphi) -\sin^2(\varphi)\qquad\text{en}\qquad \sin(2\varphi)=2\cos(\varphi)\sin(\varphi)\]

Verdrievoudigingsformule Pas de formule van de Moivre eens toe met \(n=3\): \[\begin{aligned}\cos(3\varphi)+\mathrm{i}\,\sin(3\,\varphi) &= (\cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi)^3 \\ &= \bigl(\cos^3(\varphi) -3\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)\bigr) \\ &{\phantom=}{} + \mathrm{i}\,\bigl(3\cos^2(\varphi)\sin(\varphi)-\sin^3(\varphi)\bigr)\end{aligned}\] Dus geldt: \[\begin{aligned}\cos(3\varphi) &=\cos^3(\varphi) -3\cos(\varphi)\sin^2(\varphi) \\ \sin(3\varphi) &=3\cos^2(\varphi)\sin(\varphi)-\sin^3(\varphi)\end{aligned}\] Omdat \(\cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi)=1\) kunnen we de laatste vergelijkingen nog herschrijven als \[\begin{aligned}\cos(3\varphi) &=4\cos^3(\varphi) -3\cos(\varphi) \\ \sin(3\varphi) &=-4\sin^3(\varphi)+3\sin(\varphi)\end{aligned}\]

Som- en verschilformules Ook goniometrische som- en verschilformules kun je tamelijk gemakkelijk afleiden. Een voorbeeld: \[\begin{aligned}\cos(\alpha+\beta)+\mathrm{i}\,\sin(\alpha+\beta) &= e^{\,\mathrm{i}\,(\alpha+\beta)} \\ &= e^{\,\mathrm{i}\,\alpha}\cdot e^{\,\mathrm{i}\,\beta}\\ &= (\cos\alpha + \mathrm{i}\sin\alpha)\cdot (\cos\beta + \mathrm{i}\sin\beta) \\ &= \bigl(\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\bigr)\\ &{\phantom=}{} + \mathrm{i}\,\bigl(\cos(\alpha)\sin(\beta)+ \sin(\alpha)\cos(\beta)\bigr)\end{aligned}\] Dus geldt: \[\begin{aligned} \cos(\alpha+\beta) &=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\\ \sin(\alpha+\beta) &=\cos(\alpha)\sin(\beta)+ \sin(\alpha)\cos(\beta)\end{aligned}\]

Stelling Voor elk geheel getal \(n\) geldt \[e^{\,n\,\pi\,\mathrm{i}}=(-1)^n\]

De Formule van De Moivre geeft: \[\begin{aligned}e^{\,n\,\pi\,\mathrm{i}} &= \cos(n\,\pi)+\mathrm{i}\,\sin(n\,\pi) \\ &= (-1)^n+0\,\mathrm{i} \\ &= (-1)^n\end{aligned}\]