Bepaling van het argument van een complex getal Bekijk een complex getal \(z=x+\mathrm{i}\,y\) ongelijk aan \(0\) dat te schrijven is in de vorm \(z = r\,(\cos\varphi+\mathrm{i}\,\sin\varphi)\). Voor het verband tussen \(x\), \(y\), \(r\) en \(\varphi\) geldt in het algemeen: \[\begin{aligned}x=r\,\cos\varphi &,\quad y=r\,\sin\varphi\\ r=\sqrt{x^2+y^2} &,\quad \tan\varphi=\frac{y}{x}\end{aligned}\] Vaak concludeert men dat de waarde van het argument gegeven wordt door de formule \[\arg(z)=\arctan \left(\frac{\mathrm{Im}(z)}{\mathrm{Re}(z)}\right)\tiny.\] Dit is alleen waar als \(\mathrm{Re}(z)\gt 0\) en in andere gevallen niet (ga dit zelf na aan de hand van het complexe getal \(-1-\mathrm{i}\)).

Verder is het argument alleen maar modulo \(2\pi\) bepaald. In de praktijk volstaan bovenstaande vergelijkingen om \(\varphi\) te bepalen, maar er liggen dus een paar addertjes onder het gras. Als \(x=y=0\), dan is \(\varphi\) niet gedefinieerd. Als \(x=0, y>0\), dan is \(\varphi =\tfrac{1}{2}\!\pi\), en als \(x=0, y<0\), dan is \(\varphi =-\tfrac{1}{2}\!\pi\). In alle andere gevallen, kun je \(\varphi\) wel berekenen met behulp van de arctangens (inverse functie van de tangens), maar moet je er dan wel rekenen mee houden dat de artangens altijd een getal tussen \(-\tfrac{1}{2}\!\pi\) en \(\tfrac{1}{2}\!\pi\) oplevert. Als \(x<0\), dat wil zeggen als het complexe getal een negatief reëel deel heeft, dan moet je bij het resultaat van \(\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)\) nog \(\pi\) bij optellen of aftrekken.

Samenvattend hebben we dus: \[\begin{aligned}\text{als } x=0, y>0\;&\text{dan }\varphi=\tfrac{1}{2}\!\pi+2k\pi\\ \text{als } x=0, y<0\;&\text{dan }\varphi=-\tfrac{1}{2}\!\pi+2k\pi\\ \text{als } x<0, y>0\;&\text{dan }\varphi=\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)+\pi+2k\pi\\ \text{als } x<0, y<0\;&\text{dan }\varphi=\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)-\pi+2k\pi\\ \text{als } x>0\;&\text{dan }\varphi=\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)+2k\pi\end{aligned}\] voor een zeker geheel getal \(k\), omdat het argument enkel op gehele veelvouden van \(2\pi\) na bepaald is. We kunnen altijd het hoofddeel in het interval \((-\pi,\pi]\) kiezen; we spreken dan weer van de hoofdwaarde van het argument en noteren dit, net als bij complexe getallen op de eenheidscirkel, met \(\mathbf{Arg}(z)\). In bovenstaande formulering hebben we deze formules zodanig opgeschreven dat de hoofdwaarde verkregen wordt door de modulo-term met het veelvould van \(2\pi\) weg te laten.

\[\mathrm{Arg}(z)=\begin{cases}\pi&\text{als } z\text{ op de negatieve reële as ligt}\\ 2\arctan\left(\dfrac{\mathrm{Im}(z)}{|z|+\mathrm{Re} (z)}\right)&\text{anders }\end{cases}\]

Rekenschema voor hoofdargument De kwadranten van het complexe vlak zijn in onderstaande figuur genummerd.

Onderstaand rekenschema's geven aan hoe de hoofdwaarde \(\mathrm{Arg}(z)\) van het complexe getal \(z=x+y\,\ii\) berekend kan worden aan de hand van de positie van het corresponderende punt \((x,y)\) in het complexe vlak. \[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \textit{Kwadrant} & \textit{Teken van }x\textit{ en }y & \mathrm{Arg}(z)\\ \hline\hline \mathrm{I} & x>0,\quad y>0 & \arctan(y/x) \\ \hline \mathrm{II} & x<0,\quad y>0 & \pi+\arctan(y/x) \\ \hline \mathrm{III} & x<0,\quad y<0 & -\pi+ \arctan(y/x)\\ \hline \mathrm{IV} & x>0,\quad y<0 & \arctan(y/x) \\ \hline \end{array}\] Voor punten op de randen van de kwadranten kun je het volgende schema hanteren. \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textit{Rand} & \textit{type van complex getal }z & \textit{condities voor }x\text{ en }y & \mathrm{Arg}(z)\\ \hline\hline \mathrm{IV/I} & \text{reëel en positief} & x>0,\quad y=0 & 0 \\ \hline \mathrm{I/II} & \text{zuiver imaginair met Im}(z)>0 & x=0,\quad y>0 & \tfrac{1}{2}\pi \\ \hline \mathrm{II/III} & \text{reëel en positief} & x<0,\quad y=0 & \pi\\ \hline \mathrm{III/IV} & \text{zuiver imaginair met Im}(z)<0 & x=0,\quad y<0 & -\tfrac{1}{2}\pi\\ \hline \text{oorsprong} & \text{nul} & x=0,\quad y=0 & \text{onbepaald} \\ \hline \end{array}\]