Complexe getallen: Complexe functies
Complexe lineaire functies
Reële functies ben je vast al veel tegen gekomen. Maar je kunt evenzo complexe functies bestuderen. Een complexe functie is een afbeelding die aan elk complex getal een nieuw complex getal verbindt volgens een of ander functievoorschrift. Het is dus ook te beschouwen als een afbeelding die aan een punt in het complexe vlak een nieuw punt koppelt. We bekijken in deze paragraaf complexe lineaire functies.
Een eenvoudig voorbeeld van een complexe functie is de functie \[f(z)=z+1+2\,\mathrm{i}\] Onderstaande dynamische figuur laat zien wat het effect is op punten in het complexe vlak; het rode versleepbare punt is het origineel en het groene punt is het beeld onder de gegeven afbeelding \(f\). Voor de duidelijkheid hebben we ook de vector horende bij het complexe getal \(1+2\,\mathrm{i}\) getekend en dezelfde vector zodanig verschoven dat het beginpunt met het rode punt samenvalt. Het moge duidelijk zijn dat de functie punten in het complexe vlak verschuift via de vector die hoort bij het complexe getal \(1+2\,\mathrm{i}\). De translatievector is hier gelijk aan \(\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}\).
Meer algemeen geldt:
Translatie in een vlak als complexe functie De complexe functie \(f(z)=z+a+b\,\mathrm{i}\) met reëele getallen \(a\) en \(b\) hoort in het complexe vlak bij een verschuiving met translatievector \(\begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix}\).
Schaling in een vlak als complexe functie De complexe functie \(f(z)=a\cdot z\) met \(a\) een reëel getal hoort bij de vermenigvuldiging ten opzichte van de oorsprong met factor \(a\).
In het algemeen geldt:
Draaivermenigvuldiging in een vlak als complexe functie De complexe functie \(f(z)=(a+b\,\mathrm{i})\cdot z+c+d\,\mathrm{i}\) met reële getallen \(a\), \(b\), \(c\) en \(d\) hoort bij de draaivermenigvuldiging die bestaat uit de draaiing rondom de oorsprong over de hoek \(\mathrm{Arg}(a+b\,\mathrm{i})\) en de vermenigvuldiging ten opzichte van de oorsprong met factor \(|a+b\,\mathrm{i}|\), gevolgd door de verschuiving met translatievector \(\begin{pmatrix} c\\ d\end{pmatrix}\).
Hierboven hebben we besproken hoe een complexe lineaire functie, dat wil zeggen een complexe functie van de vorm \(f(z)=u\cdot z+v\) met complexe getallen \(u\) en \(v\), en variabele \(z\), meetkundig te interpreteren is in het complexe vlak. Bij meer ingewikkelde complexe functies wordt een meetkundige interpretatie lastiger zoals voorbeelden van andere complexe functies in het vervolg van dit hoofdstuk zullen illustreren.
