Complexe veeltermfuncties

Complexe getallen: Complexe functies

Complexe veeltermfuncties

Onderstaande dynamische figuur laat zien wat het effect van de complexe functie $f(z)=z^2+1$ is op punten in het complexe vlak; het rode versleepbare punt is weer het origineel en het groene punt is het beeld onder de gegeven afbeelding $f$ . Experimenteer om het gedrag van de functie in beeld te krijgen.

$\phantom{x}$

Het is in het laatste voorbeeld niet zo duidelijk met wat voor een afbeelding we in het complexe vlak te maken hebben. Maar misschien heb je tijdens het experimenteren in de dynamische figuur wel opgemerkt dat de getallen $\mathrm{i}$ en $\mathrm{-i}$ op $0$ worden afgebeeld (Wat betekent dit voor de punten in het complexe vlak?). Dat is niet zo gek als je bedenkt dat het functievoorschrift gelijk is aan $f(z)=z^2+1$ ; het zijn de enige twee complexe getallen waarvan het kwadraat gelijk is aan $-1$ . De functie $f(z)=z^2+1$ is een voorbeeld van een complexe kwadratische functie.

Een uitdrukking van de vorm $a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_2z^2+a_1z+a_0,$ waarin $a_0,a_1,\ldots, a_n$ complexe getallen zijn met $a_n\neq 0$ en $z$ een variabele is, heet een veelterm. De parameters $a_0, a_1, \ldots, a_n$ noemen we de coëfficiënten van de veelterm. Als alle coëfficiënten van een veelterm reëel zijn, dan spreken we van een reële veelterm. De hoogste exponent $n$ heet de graad van de veelterm. De term $a_nz^n$ heet de kopterm of leidende term van de veelterm (waarbij de hoogste coëfficiënt $a_n$ , ook wel kopcoëfficiënt of leidende coëfficiënt genoemd, niet nul is want anders zou je deze term wel weggelaten hebben).

Laat $p(z)$ een complexe veelterm zijn. De afbeelding die aan een complex getal $z$ de waarde $p(z)$ toevoegt noemen we een complexe veeltermfunctie. Als de graad van de veelterm $p(z)$ gelijk is aan 1, dan hebben we te maken met een complexe lineaire functie; als de graad van de veelterm $p(z)$ gelijk is aan 2, dan hebben we te maken met een complexe kwadratische functie.

In het gegeven voorbeeld zien we dat we ook voor complexe functies kunnen speuren naar nulpunten en vast punten.

Het complexe getal $\alpha$ is een nulpunt van de complexe functie $f$ als $f(\alpha)=0$ .

Let op: als de veelterm reëel is, dat wil zeggen als alle coëfficiënten reeel zijn, dan hoeven de nulpunten van de veelterm niet reëel te zijn. Het eenvoudigste voorbeeld is de veelterm $z^2+1$ met $\ii$ en $-\ii$ als nulpunten.

Een dekpunt of vast punt van een complexe functie $f$ is een complex getal $\beta$ waarvoor $f(\beta)=\beta$ .

We kunnen begrippen als differentieerbaarheid introduceren op soortgelijke wijze als we bij reële functies gedaan hebben en vaak lijken resultaten ook op elkaar; bijvoorbeeld $\dfrac{d}{dz}(z^3-z^2+z)=3z^2-2z+1$ .
We gaan hier niet veel verder op in. Wel maken we in het vervolg gebruik van het gegeven dat alle rekenregels voor functies zoals optellen, vermenigvuldigen, delen en samenstellen geldig blijven voor complexe functies en dat alle bewerkingen met algebraïsche uitdrukkingen ook goed blijven gaan bij uitdrukkingen met complexe getallen of met variabelen waarin complexe getallen ingevuld kunnen worden.