Complexe exponentiële functies

Complexe getallen: Complexe functies

Complexe exponentiële functies

We hebben de imaginaire $e$ -macht $e^{\,\mathrm{i}\,\varphi}$ voor reële $\varphi$ al geïntroduceerd. Het is dan niet moeilijk meer te raden wat de definitie van $e^z$ zou moeten zijn voor een complex getal $z$ . Als $z=x+\mathrm{i}\,y$ , dan wil je natuurlijk dat de rekenregel $e^{x+\mathrm{i}\,y}=e^x\cdot e^{\,\mathrm{i}\,y}$ van kracht blijft (Herinner je dat we zo veel mogelijk eigenschappen van reële functies willen overnemen). Maar dan blijft als enig mogelijke definitie voor de complexe exponentiële functie $e^z$ , ook wel aangeduid met $\exp(z)$ , over:

Als $z=x+\mathrm{i}\,y$ in standaardvorm is, dan definiëren we $\begin{aligned}e^z&=e^x\cdot e^{\;\mathrm{i}\,y }\\ &= e^x\cdot\bigl(\cos(y)+\mathrm{i}\,\sin(y)\bigr)\end{aligned}$

Met andere woorden: voor ieder complex getal $z$ definiëren we het complexe getal $e^z$ door $\begin{cases} |\e^z| &= e^{\mathrm{Re}(z)}\\ \mathrm{arg}(e^z) &=\mathrm{Im}(z)\quad (\mathrm{mod\;} 2\pi)\end{cases}$ De functie die aan $z$ het complexe getal $e^z$ toevoegt, noemen we ook de complexe exponentiële functie en noteren we ook wel als $\exp$ , zodat $\exp(z)=e^z$ .

Als $z$ een reële getal is, dan geldt: $|e^z|=e^z$ en $\mathrm{Arg}(z)=0$ . In dit geval is de complexe exponentiële functiewaarde gelijk aan de bekende, reële $e$ -macht.

Met de complexe $e$ -macht in de hand kunnen we ook machten met andere positieve reële grondtallen definiëren.

Laat $g$ een positief reëel getal zijn en $z$ een complex getal, dan kunnen we schrijven $g^z = e^{\ln(g)\cdot z}$

Via de reële exponentiële functie, logaritme, goniometrische functies en een rekenmachine kun je functiewaarden uitrekenen.

Schrijf het getal $e^{0.6+2.0\,\mathrm{i}}$ in standaardvorm en gebruik een rekenmachine om het antwoord in 3 decimalen nauwkeurig te bepalen.

$\begin{aligned}e^{0.6+2.0\,\mathrm{i}}&=e^{0.6}\cdot e^{2.0\,\mathrm{i}} & \color{blue}{\text{rekenregels voor machten}}\\ &=e^{0.6}\cdot \bigl(\cos(2.0)+\mathrm{i}\sin(2.0)\bigr) &\color{blue}{\text{formule van Euler}} \\ &\approx -0.758+1.657\,\mathrm{i} & \color{blue}{\text{rekenmachine}}\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

De complexe exponentiële functie heeft vele eigenschappen die we er van verwachten; we geven twee voorbeelden.

Voor elk positief reëel getal $g$ , geheel getal $n$ , en elk tweetal complexe getallen $z$ en $w$ geldt $\begin{aligned}r^{z}\cdot r^{w}&=r^{z+w}\\ \left(r^z\right)^n&=r^{n\cdot z}\end{aligned}$

De complexe exponentiële functie is gelijk aan zijn eigen afgeleide, met andere woorden: $\frac{\dd }{\dd z}(e^z)=e^z$

Maar er zijn ook wel verschillen tussen de reële exponentiële functie en de complexe exponentiële functie. Uit de eerste vermenigvuldigingsregel halen we de volgende bewering:

De complexe exponentiële functie is periodiek met periode $2\pi\,\mathrm{i}$ .

Immers, voor elk geheel getal $k$ geldt: $e^{2\,k\,\pi\,\mathrm{i}}=\left(e^{\pi\,\mathrm{i}}\right)^{2k}=(-1)^{2k}=1$ en dus: $e^{z+2\,k\,\pi\,\mathrm{i}}=e^z\cdot e^{2\,k\,\pi\,\mathrm{i}}=e^z$

$\phantom{x}$

Anders gezegd betekent de laatste regel voor de complexe exponentiële functie dat de vergelijking $e^z=1$ in $\mathbb{C}$ oneindig veel oplossingen heeft. De algemene oplossing kan geschreven worden als $z=0\quad(\mathrm{mod}\;2\,\pi\,\ii)$ Bekijk nog meer voorbeelden van complexe exponentiële vergelijkingen die exact oplosbaar zijn.

Los de volgende vergelijking exact op in $\mathbb{C}$ en schrijf het antwoord in standaardvorm op: $e^z=1+\ii$

Om de vergelijking $\e^z=1+\ii$ op te lossen stellen we de absolute waarden en de argumenten van de complexe getallen links en rechts gelijk aan elkaar. Hierbij schrijven we $z$ in standaardvorm als $z=x+y\,\ii$ , met nog reële onbekenden $x$ en $y$ .

Eerst stellen we de absolute waarden links en rechts aan elkaar gelijk. Links hebben we: $|e^z|=e^{x}$ Rechts vinden we: $|1+\ii|=\sqrt{(1)^2+(1)^2}=\sqrt{2}$ Het aan elkaar gelijk stellen van de absolute waarden leidt dus tot de vergelijking $\e^x=\sqrt{2}$ De exacte oplossing van deze vergelijking is m.b.v. de rekenregels voor de natuurlijke logaritme te schrijven als $x=\tfrac{1}{2}\ln(2)$ Hierna stellen we de argumenten van de complexe getallen links en rechts aan elkaar gelijk. Links geldt: $\mathrm{arg}(e^z)=\mathrm{Im}(z)=y\quad (\mathrm{mod\;} 2\pi)$ Rechts geldt vanwege de bijzondere waarden van reële en imaginaire delen dat $1+\ii=\sqrt{2}\cdot\bigl(\cos(\tfrac{1}{4}\pi)+\ii\,\sin(\tfrac{1}{4}\pi)\bigr)$ oftewel $\mathrm{Arg}(1+\ii)=\tfrac{1}{4}\pi$ Dus: $y=\tfrac{1}{4}\pi+k\cdot 2\pi\qquad\text{voor zeker geheel getal }k$
Samengevat: er zijn oneindig veel oplossingen van de vergelijkinging $\e^z=1+\ii$ maar elke oplossing is te schrijven als $z=\tfrac{1}{2}\ln(2)+(\tfrac{1}{4}\pi+k\cdot 2\pi)\,\ii \qquad\text{voor zeker geheel getal }k$ De algemene oplossing kun je opschrijven als $z=\tfrac{1}{2}\ln(2)+\tfrac{1}{4}\pi\,\ii\quad (\mathrm{mod\;} 2\,\pi\,\ii)$

Een kortere, equivalente route start met het schrijven van het rechterlid in poolcoördinaten, zeg $r\, e^{\ii\,\phi}$ .
Maar als $e^z=r\, e^{\ii\,\phi}$ dan geldt dat $e^z=e^{\ln(r)+\ii\,\phi}$ en dus $z=\ln(r)+\ii\,\phi\quad(\text{mod }2\,\pi\,\ii)$ In deze som: $1+\ii=\sqrt{2}\,e^{\tfrac{1}{4}\pi\,\ii}$ Dus $z=\tfrac{1}{2}\ln(2)+\tfrac{1}{4}\pi\,\ii\quad (\mathrm{mod\;} 2\,\pi\,\ii)$

Nieuw voorbeeld