Complexe getallen: Complexe functies
Complexe exponentiële functies
We hebben de imaginaire \(e\)-macht \(e^{\,\mathrm{i}\,\varphi}\) voor reële \(\varphi\) al geïntroduceerd. Het is dan niet moeilijk meer te raden wat de definitie van \(e^z\) zou moeten zijn voor een complex getal \(z\). Als \(z=x+\mathrm{i}\,y\), dan wil je natuurlijk dat de rekenregel \(e^{x+\mathrm{i}\,y}=e^x\cdot e^{\,\mathrm{i}\,y}\) van kracht blijft (Herinner je dat we zo veel mogelijk eigenschappen van reële functies willen overnemen). Maar dan blijft als enig mogelijke definitie voor de complexe exponentiële functie \(e^z\), ook wel aangeduid met \(\exp(z)\), over:
Complexe exponentiële functie Als \(z=x+\mathrm{i}\,y\) in standaardvorm is, dan definiëren we \[\begin{aligned}e^z&=e^x\cdot e^{\;\mathrm{i}\,y }\\ &= e^x\cdot\bigl(\cos(y)+\mathrm{i}\,\sin(y)\bigr)\end{aligned}\]
Met andere woorden: voor ieder complex getal \(z\) definiëren we het complexe getal \(e^z\) door \[\begin{cases} |\e^z| &= e^{\mathrm{Re}(z)}\\ \mathrm{arg}(e^z) &=\mathrm{Im}(z)\quad (\mathrm{mod\;} 2\pi)\end{cases} \] De functie die aan \(z\) het complexe getal \(e^z\) toevoegt, noemen we ook de complexe exponentiële functie en noteren we ook wel als \(\exp\), zodat \(\exp(z)=e^z\).
Als \(z\) een reële getal is, dan geldt: \(|e^z|=e^z\) en \(\mathrm{Arg}(z)=0\). In dit geval is de complexe exponentiële functiewaarde gelijk aan de bekende, reële \(e\)-macht.
Complexe macht met een positief reëel grondtal Met de complexe \(e\)-macht in de hand kunnen we ook machten met andere positieve reële grondtallen definiëren.
Laat \(g\) een positief reëel getal zijn en \(z\) een complex getal, dan kunnen we schrijven \[g^z = e^{\ln(g)\cdot z}\]
Via de reële exponentiële functie, logaritme, goniometrische functies en een rekenmachine kun je functiewaarden uitrekenen.
De complexe exponentiële functie heeft vele eigenschappen die we er van verwachten; we geven twee voorbeelden.
Voor elk positief reëel getal \(g\), geheel getal \(n\), en elk tweetal complexe getallen \(z\) en \(w\) geldt \[\begin{aligned}r^{z}\cdot r^{w}&=r^{z+w}\\ \left(r^z\right)^n&=r^{n\cdot z}\end{aligned}\]
De complexe exponentiële functie is gelijk aan zijn eigen afgeleide, met andere woorden: \[\frac{\dd }{\dd z}(e^z)=e^z\]
Maar er zijn ook wel verschillen tussen de reële exponentiële functie en de complexe exponentiële functie. Uit de eerste vermenigvuldigingsregel halen we de volgende bewering:
De complexe exponentiële functie is periodiek met periode \(2\pi\,\mathrm{i}\).
Immers, voor elk geheel getal \(k\) geldt: \[e^{2\,k\,\pi\,\mathrm{i}}=\left(e^{\pi\,\mathrm{i}}\right)^{2k}=(-1)^{2k}=1\] en dus: \[e^{z+2\,k\,\pi\,\mathrm{i}}=e^z\cdot e^{2\,k\,\pi\,\mathrm{i}}=e^z\]
\(\phantom{x}\)
Anders gezegd betekent de laatste regel voor de complexe exponentiële functie dat de vergelijking \[e^z=1\] in \(\mathbb{C}\) oneindig veel oplossingen heeft. De algemene oplossing kan geschreven worden als \[z=0\quad(\mathrm{mod}\;2\,\pi\,\ii)\] Bekijk nog meer voorbeelden van complexe exponentiële vergelijkingen die exact oplosbaar zijn.
Eerst stellen we de absolute waarden links en rechts aan elkaar gelijk. Links hebben we: \[|e^z|=e^{x}\] Rechts vinden we:\[|-1+\sqrt{3}\,\ii|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2\] Het aan elkaar gelijk stellen van de absolute waarden leidt dus tot de vergelijking \[\e^x=2\] De exacte oplossing van deze vergelijking is te schrijven als \[x=\ln(2)\] Hierna stellen we de argumenten van de complexe getallen links en rechts aan elkaar gelijk. Links geldt: \[\mathrm{arg}(e^z)=\mathrm{Im}(z)=y\quad (\mathrm{mod\;} 2\pi)\] Rechts geldt vanwege de bijzondere waarden van reële en imaginaire delen dat \[-1+\sqrt{3}\,\ii=2\cdot\bigl(\cos(\tfrac{2}{3}\pi)+\ii\,\sin(\tfrac{2}{3}\pi)\bigr)\] oftewel \[\mathrm{Arg}(-1+\sqrt{3}\,\ii)=\tfrac{2}{3}\pi\] Dus: \[y=\tfrac{2}{3}\pi+k\cdot 2\pi\qquad\text{voor zeker geheel getal }k\]
Samengevat: er zijn oneindig veel oplossingen van de vergelijkinging \[\e^z=-1+\sqrt{3}\,\ii\] maar elke oplossing is te schrijven als \[z=\ln(2)+(\tfrac{2}{3}\pi+k\cdot 2\pi)\,\ii \qquad\text{voor zeker geheel getal }k\] De algemene oplossing kun je opschrijven als \[z=\ln(2)+\tfrac{2}{3}\pi\,\ii\quad (\mathrm{mod\;} 2\,\pi\,\ii)\]
Een kortere, equivalente route start met het schrijven van het rechterlid in poolcoördinaten, zeg \(r\, e^{\ii\,\phi}\).
Maar als \[e^z=r\, e^{\ii\,\phi}\] dan geldt dat \[e^z=e^{\ln(r)+\ii\,\phi}\] en dus \[z=\ln(r)+\ii\,\phi\quad(\text{mod }2\,\pi\,\ii)\] In deze som: \[-1+\sqrt{3}\,\ii=2\,e^{\tfrac{2}{3}\pi\,\ii}\] Dus \[z=\ln(2)+\tfrac{2}{3}\pi\,\ii\quad (\mathrm{mod\;} 2\,\pi\,\ii)\]
