Complexe goniometrische functies

Complexe getallen: Complexe functies

Complexe goniometrische functies

Als je eenmaal de complexe exponentiële functie in het wiskundige arsenaal ter beschikking hebt, kun je de complexe goniometrische functies \(\cos\) en \(\sin\) ook op eenvoudige wijze definiëren.

Complexe goniometrische functies \[\cos(z)=\frac{e^{z\,\mathrm{i}}+e^{-z\,\mathrm{i}}}{2}\qquad\text{en}\qquad\sin(z)=\frac{e^{z\,\mathrm{i}}-e^{-z\,\mathrm{i}}}{2\mathrm{i}}\]

Uit de periodiciteit van de complexe exponentiële functie met periode \(2\,\pi\,\ii\) volgt onmiddellijk de periodiciteit van de complexe goniometrische functies

Periodiciteit De complexe goniometrische functies \(\cos\) en \(\sin\) zijn periodiek met periode \(2\,\pi\).

Voor de complexe exponentiële functies geldt \[e^{z+2\,\pi\,\ii}=e^z\] De periodiciteit van de cosinus volgt uit de volgende berekening: \[\begin{aligned}\cos(z+2\pi)&=\frac{1}{2}\left(e^{(z+2\pi)\cdot\ii}+e^{-(z+2\pi)\cdot\ii}\right)\\ &\phantom{rstuvwxyz}\color{blue}{\text{definitie}}\\ &=\frac{1}{2}\left(\e^{z\cdot\ii}+\e^{-z\cdot\ii}\right) \\ &\phantom{rstuvwxyz}\color{blue}{\text{periodiciteit van }\exp}\\ &=\cos(z) \\ &\phantom{rstuvwxyz} \color{blue}{\text{definitie}}\end{aligned}\] Het bewijs dat de sinus periodiek is met periode #2\pi# gaat net zo.

Ook de volgende bekende formule geldt voor alle complexe getallen.

\[\cos^2(z)+\sin^2(z)=1\qquad\text{voor elk complex getal }z\]

Voor de liefhebber geven we het bewijs van de stelling dat \[\cos^2(z)+\sin^2(z)=1\qquad\text{voor elk complex getal }z\] Dit bewijs is in feite niet meer dan het gebruiken van de definities van de goniometrische functies en uitwerken van de kwadraten. \[\begin{aligned}\cos^2(z)+\sin^2(z) &= \left(\frac{e^{z\,\ii}+e^{-z\,\ii}}{2}\right)^2+ \left(\frac{e^{z\,\ii}-e^{-z\,\ii}}{2\ii}\right)^2\\ & \phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{definities}} \\ &= \frac{\bigl(e^{z\,\ii}\bigr)^2+2\cdot e^{z\,\ii}\cdot e^{-z\,\ii}+\bigl(e^{-z\,\ii}\bigr)^2}{4}\\ &\phantom{=}\quad {}+ \frac{\bigl(e^{z\,\ii}\bigr)^2-2\cdot e^{z\,\ii}\cdot e^{-z\,\ii}+\bigl(e^{-z\,\ii}\bigr)^2}{4\ii^2}\\ & \phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{som- en verschilformule van kwadraten}} \\ &= \frac{e^{2z\,\ii}+2+e^{-2z\,\ii}}{4} - \frac{e^{2z\,\ii} - 2+e^{-2z\,\ii}}{4}\\ & \phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{rekenregels voor machten en }\ii^2=-1} \\ &= \frac{e^{2z\,\ii}+2+e^{-2z\,\ii}-e^{2z\,\ii} + 2-e^{-2z\,\ii}}{4}\\ & \phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{alles onder één noemer}}\\ &= \frac{4}{4}= 1 \\ & \phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{vereenvoudiging}}\end{aligned}\]

Ook de verdubbelingsformules en de som- en verschilformules voor goniometrische functies blijven gelden. Maar de absolute waarde van de complexe cosinus is niet altijd kleiner dan of gelijk aan 1, zoals voor de reële cosinus.

Via de complexe exponentiële functie en eventueel een rekenmachine kun je functiewaarden uitrekenen. We geven een paar voorbeelden.

Schrijf het getal \(\sin(-2.0-0.1\,\mathrm{i})\) in standaardvorm en gebruik daarbij een rekenmachine om het antwoord in 3 decimalen nauwkeurig te bepalen.

Gebruik de bijpassende definitie van de goniometrische functie: \[\sin(z)=\frac{e^{z\,\mathrm{i}}-e^{-z\,\mathrm{i}}}{2\mathrm{i}}\] Omdat we in staat zijn om te rekenen met de complexe exponentiële functie via een rekenmachine m.b.v. reële getallen kunnen we dan de uitkomst bepalen:
\[\begin{aligned}\sin(-2.0-0.1\,\mathrm{i})&= \frac{e^{(-2.0-0.1\,\mathrm{i})\,\mathrm{i}}-e^{-(-2.0-0.1\,\mathrm{i})\,\mathrm{i}}}{2\mathrm{i}}\\ &\phantom{abcxyz}\color{blue}{\text{definitie van goniometrische functie}}\\ &= \frac{e^{0.1-2.0\,\mathrm{i}}-e^{-0.1+2.0\,\mathrm{i}}}{2\mathrm{i}} \\ &\phantom{abcxyz}\color{blue}{\text{complexe rekenen}}\\ &= \frac{e^{0.1}e^{-2.0\,\mathrm{i}}-e^{-0.1}e^{2.0\,\mathrm{i}}}{2\mathrm{i}}\\ &\phantom{abcxyz}\color{blue}{\text{vereenvoudiging}}\\ &= \frac{e^{0.1}\bigl(\cos(-2.0)+\sin(-2.0)\mathrm{i}\bigr)-e^{-0.1}\bigl(\cos(2.0)+\sin(2.0)\mathrm{i}\bigr)}{2\mathrm{i}} \\ &\phantom{abcxyz}\color{blue}{\text{definitie van exponentiële functie}} \\ &{\approx}\; -0.914+0.042\,\mathrm{i} \\ &\phantom{abcxyz}\color{blue}{\text{uitrekenen}} \end{aligned}\]

Nieuw voorbeeld