Complexe getallen: Complexe functies
De complexe logaritme
Tot slot voeren we nog de complexe logaritme in. Hierbij willen we, zoals in het begin besproken, zo veel mogelijk eigenschappen van reële functies overnemen. In het bijzonder willen we dat de rekenregel \[\ln(z)=\ln({r\cdot \e^{\varphi\cdot\ii}})=\ln(r)+ \varphi\cdot\ii\]voor \(z=r\cdot \e^{\varphi\cdot\ii}\) een complex getal ongelijk aan \(0\) in polaire vorm, van kracht blijft.
Dit suggereert een definitie voor de complexe logaritme \(\ln(z)\), maar er zit een addertje onder het gras: bij \(\varphi\) kunnen we elk gehele veelvoud van \(2\pi\) optellen zonder dat de waarde van \(z\) verandert. We hebben dus \(\ln(z)=\ln(r)+ \mathrm{i}(\varphi+2k\pi)\) voor gehele getallen \(k\). De logaritme is dus een voorbeeld van een meerwaardige functie, dat wil zeggen een functie die bij elk functieargument meerdere waarden aan kan nemen. We kunnen natuurlijk een specifieke waarde kiezen: zeg \(k=0\) onder de veranderstelling dat \(-\pi<\varphi\le \pi\). Met andere woorden: we nemen dan de hoofdwaarde van het argument van \(z\). Daarom noemen we dit de hoofdwaarde van \(\boldsymbol{\ln(z)}\) en spreken van de hoofdtak van de complexe logaritme als we dit voor alle originelen onder de afbeelding \(z\mapsto\ln(z)\) doen.
De complexe logaritme \[\begin{aligned} \ln(z)\:&= \ln(|z|) + \mathrm{i}\,\mathrm{arg}(z)\\ \\ \text{De hoofdtak van }\ln(z)&=\ln(|z|) + \mathrm{i}\,\mathrm{Arg}(z)\end{aligned}\]
In sommige wiskundeboeken wordt voor de hoofdtak van de complexe logaritme de notatie \(\mathrm{Ln}\) ingevoerd, maar wij zullen deze notatie niet gebruiken.
De inverse van de complexe exponentiële functie
- De complexe exponentiële functie \(\exp\) beeldt elk origineel \(z\) op een uniek beeld af als \(-\pi\lt \mathrm{Im}(z)\le \pi\). Op formelere toon zeggen we de complexe exponentiële functie \(\exp\) injectief op het domein \(\left\{z\in\mathbb{C}\mid -\pi\lt \mathrm{Im}(z)\le\pi\right\}\).
- Het bereik van \(\exp\) op dit domein is de verzameling van alle complexe getallen ongelijk aan \(0\). Het bereik is, formeel verwoord, gelijk aan \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\).
- De hoofdtak van de complexe logaritme \(\ln\) is de inverse functie van de complexe exponentiële functie beperkt tot \(\left\{z\in\mathbb{C}\mid -\pi\lt \mathrm{Im}(z)\le\pi\right\}\). Het domein van de hoofdtak van \(\ln\) is dus de verzameling van alle complexe getallen ongelijk aan #0# en het bereik bestaat uit alle complexe getallen \(z\) met \(-\pi\lt \mathrm{Im}(z)\le \pi\).
Voor de liefhebber geven we het bewijs.
Stel \(z\) en \(w\) zijn complexe getallen met \(\exp(z)=\exp(w)\). Dan geldt \(e^z=\e^w\) en vanwege de rekenregels voor complexe machten \(\e^{z-w}=1\). De definitie van de complexe exponentiële functie leert ons dat \[\begin{aligned}e^{\mathrm{Re}(z-w)}\&=\left|\e^{z-w}\right|=\left| 1\right|=1\\ \mathrm{Im}(z-w)\&=\arg\left(e^{z-w}\right)=0\pmod{2\,\pi}\end{aligned}\] zodat \[z-w=\mathrm{Re}(z-w)+\mathrm{Im}(z-w)\cdot\ii=0\pmod{2\,\pi\,\ii}\] oftewel \[z=w\pmod{2\,\pi\,\ii}\] Als \(z\) en \(w\) beide in het domein \(\left\{z\in\mathbb{C}\mid -\pi\lt \mathrm{Im}(z)\le\pi\right\}\) liggen, dan verschillen hun imaginaire delen minder dan \(2\,\pi\) van elkaar, zodat ze gelijk moeten zijn. Dit bewijst \(z=w\), en daarmee de injectiviteit van \(\exp\) als functie op het gegeven domein.
Het is bekend dat elk complex getal ongelijk aan \(0\) een polaire vorm heeft en dus geschreven kan worden als \(e^z\) voor geschikte \(z\) met \(-\pi\lt \mathrm{Im}(z)\le \pi\). Dit betekent dat het beeld van \(\exp\) op het gegeven domein \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\) is.
Het feit dat \(\ln\) de inverse van \(\exp\) op het gegeven domein is, volgt tenslotte uit:\[\begin{aligned}\ln\left(e^z\right)\&=\ln\left(\left|e^{z}\right|\right) + \arg\left(e^z\right)\cdot\ii\\ &\phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{definitie complexe logaritme}}\\ &=\ln\left(e^{\mathrm{Re}(z)}\right) + \mathrm{Im}(z)\cdot\ii\\ &\phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{definitie complexe functie }\exp}\\&=\mathrm{Re}(z) + \mathrm{Im}(z)\,\ii\\ &=z\end{aligned}\]
We noemen enkele rekenregels die verwant zijn aan regels van de reële natuurlijke logaritme, maar vaak een klein beetje verschillen:
Rekenregels voor de complexe logaritme Stel dat \(z\) en \(w\) twee complexe getallen ongelijk aan \(0\) zijn en \(n\) een natuurlijk getal is. Dan geldt:
- #\ln\left(z\cdot w\right)=\ln\left(z\right)+\ln\left(w\right)\pmod{2\,\pi\,\ii}#
- #\ln(z^n)=n\cdot \ln\left(z\right)\pmod{2\,\pi\,\ii}#
- #e^{\ln\left(z\right)}=z#
- #\ln\left(e^{z}\right)=z\pmod{2\,\pi\,\ii}#
Voor de liefhebber geven we de bewijzen van de vier gelijkheden.
De eerste gelijkheid volgt uit \[\begin{aligned}\ln\left(z\cdot w\right) &= \ln\left(\left|z\cdot w\right|\right)+\arg\left(z\cdot w\right)\cdot\ii\\
&= \ln\left(\left|z\right|\right)+\ln\left(\left| w\right|\right)+\arg\left(z\right)\cdot\ii+\arg\left(w\right)\cdot\ii\pmod{2\,\pi\,\ii}\\
&=\ln(z)+\ln(w)\pmod{2\,\pi\,\ii}\end{aligned}\] De tweede gelijkheid volgt door herhaalde toepassing van de eerste met \(z^k=z^{k-1}\cdot z\) voor \(k=n,n-1,\ldots,2\).
De derde gelijkheid volgt uit het feit dat de logaritme de inverse is van \(\exp\).
Voor \(z\) met \(-\pi\lt \mathrm{Im}(z)\le\pi\) volgt de vierde gelijkheid ook uit het feit dat de logaritme de inverse is van \(\exp\). Voor andere waarden van \(z\) kun je die conclusie niet trekken, omdat \(z\) dan niet in het speciaal gekozen domein van \(\exp\) ligt waarop de functie voor elk origineel een uniek beeld heeft. Maar directe berekening laat zien dat de complexe logaritme modulo \(2\pi\cdot\ii\) zich als de inverse gedraagt: \[\begin{aligned}\ln\left(e^{z}\right)&= \ln\left(\left|e^{z}\right|\right)+\arg\left(e^{z}\right)\cdot\ii\\
&\phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{definitie complexe logaritme}}\\
&= \ln\left(e^{\mathrm{Re}(z)}\right)+\bigl(\mathrm{Im}(z) \pmod{2\,\pi}\bigr)\cdot\ii\\
&\phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{definitie complexe functie }\exp}\\
&= \left(\mathrm{Re}(z)+\mathrm{Im}(z)\cdot\ii\right) \pmod{2\,\pi\,\ii}\\
&\phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{definitie reële logaritme}}\\
&= z\pmod{2\,\pi\,\ii}\end{aligned}\]
In bovenstaande rekenregels zijn de toevoegingen over modulo rekenen \((\mathrm{mod\;}2\,\pi\,\ii)\) noodzakelijk. Let hierop anders krijg je snel tegenstrijdige resultaten
Via de complexe exponentiële functie en eventueel een rekenmachine kun je functiewaarden uitrekenen. We geven een paar voorbeelden.
Want als \[z=r\, e^{\ii\,\phi}\] dan \[z=\ln(r)+\ii\,\phi\quad(\text{mod }2\,\pi\,\ii)\] In deze som: \[1+\ii=\sqrt{2}\,e^{\tfrac{1}{4}\pi\,\ii}\] Dus: \[z=\tfrac{1}{2}\ln(2)+\tfrac{1}{4}\pi\,\ii\quad (\mathrm{mod\;} 2\,\pi\,\ii)\]
