Complexe getallen: Complexe machten, wortels en veeltermen
Complexe vierkantswortels
We weten al dat de complexe kwadraatfunctie \(f(z)=z^2\) bestaat en dat de vergelijking \(z^2=-1\) de complexe oplossingen \(z=\pm\mathrm{i}\) heeft. We hebben gekozen om \(\sqrt{-1}\) gelijk te stellen aan de imaginaire eenheid \(\mathrm{i}\). De imaginaire eenheid \(\ii\) correspondeert met het punt \((0,1)\) in het complexe vlak en heeft absolute waarde \(1\) en hoofdargument \(\tfrac{1}{2}\pi\). Anders gezegd, \(\mathrm{i}\) is de hoofdwaarde van \(\sqrt{-1}\). Maar kun je ook de wortel van een complexe getal trekken? Kun je bijvoorbeeld \(\sqrt{2+\mathrm{i}\cdot 2\sqrt{3}}\) bepalen? We beantwoorden deze vraag als voorbeeld van het algemene geval.
Voorbeeld van complex worteltrekken Stel \[\alpha=2+\mathrm{i}\cdot2\sqrt{3}\] We willen de vergelijking \[z^2=\alpha\] in de verzameling van complexe getallen oplossen. Daarvoor schrijven we eerst \(\alpha\) in polaire vorm: omdat \(\alpha=4\cdot(\tfrac{1}{2}+\ii\cdot \tfrac{1}{2}\sqrt{3})\) volgt uit de speciale goniometrische functiewaarden dat \[\alpha = 4\,e^{\tfrac{1}{3}\pi\,\mathrm{i}+k\,2\,\pi\,\mathrm{i}}\] voor gehele getallen \(k\). Merk op dat we alle mogelijke argumenten van \(\alpha\) in de berekening gebruiken.
We schrijven \(z\) ook in polaire vorm, zeg \[z=r\, e^{\,\mathrm{i}\,\varphi}\] Dan geldt volgens de formule van De Moivre (of zo men wil de productregel voor imaginaire \(e\)-machten): \[z^2=r^2\, e^{\,\mathrm{i}\,2\,\varphi}\] We moeten dus reële getallen \(r>0\) en \(\varphi\) in het interval \((-\pi, \pi]\) vinden zodanig dat \[r^2= 4\qquad\text{en}\qquad 2\varphi=\tfrac{1}{3}\pi+2k\pi\] Zonder de inperking van \(\varphi\) tot het interval \((-\pi, \pi]\) vinden we \[r=2\qquad\text{en}\qquad\varphi=\tfrac{1}{6}\pi+k\,\pi\] met gehele getallen \(k\). De oplossingen binnen de beperking van \(\varphi\) zijn daarom: \[[r=2,\varphi= \tfrac{1}{6}\pi]\qquad\text{of}\qquad [r=2,\varphi= -\tfrac{5}{6}\!\pi]\] In polaire vorm hebben we als complexe oplossingen voor de vergelijking \(z^2=\alpha\) gevonden: \[z=2\,e^{\tfrac{1}{6}\!\pi\,\mathrm{i}}\qquad\text{of}\qquad z=2\,e^{-\tfrac{5}{6}\!\pi\,\mathrm{i}}\] Als hoofdwaarde van \(\sqrt{\alpha}\) kiezen we de eerste oplossing.
Het algemene geval gaat net zo.
De complexe wortelfunctie Voor een willekeurige getal \(z\) kunnen we de complexe wortelfunctie in polaire vorm definiëren: \[\begin{aligned}\sqrt{z}&=\sqrt{|z|}\cdot e^{\,\mathrm{i}\tfrac{1}{2}\mathrm{arg}(z)}\\ \\ \text{hoofdtak van }\sqrt{z}&=\sqrt{|z|}\cdot e^{\,\mathrm{i}\tfrac{1}{2}\mathrm{Arg}(z)}\end{aligned}\] In termen van de complexe exponentiële functie en complexe logaritme kunnen we de complexe wortelfunctie gewoonweg definiëren als \[\sqrt{z}=e^{\tfrac{1}{2}\ln(z)}\]
Dus, als \(z=r\cdot e^{\,\mathrm{i}\,\varphi}\), met \(r>0\) en \(-\pi<\varphi\le\pi\), dan is de hoofdwaarde van \(\sqrt{z}\) gelijk aan \(\sqrt{r}\cdot e^{\,\mathrm{i}\tfrac{1}{2}\varphi}\).
