Voorbeeld van complex worteltrekken Stel

$$\alpha=2+\mathrm{i}\cdot2\sqrt{3}$$ We willen de vergelijking $$z^2=\alpha$$ in de verzameling van complexe getallen oplossen. Daarvoor schrijven we eerst $\alpha$ in polaire vorm: omdat $\alpha=4\cdot(\tfrac{1}{2}+\ii\cdot \tfrac{1}{2}\sqrt{3})$ volgt uit de speciale goniometrische functiewaarden dat $$\alpha = 4\,e^{\tfrac{1}{3}\pi\,\mathrm{i}+k\,2\,\pi\,\mathrm{i}}$$ voor gehele getallen $k$. Merk op dat we alle mogelijke argumenten van $\alpha$ in de berekening gebruiken.

We schrijven $z$ ook in polaire vorm, zeg

$$z=r\, e^{\,\mathrm{i}\,\varphi}$$ Dan geldt volgens de formule van De Moivre (of zo men wil de productregel voor imaginaire $e$-machten): $$z^2=r^2\, e^{\,\mathrm{i}\,2\,\varphi}$$ We moeten dus reële getallen $r>0$ en $\varphi$ in het interval $(-\pi, \pi]$ vinden zodanig dat $$r^2= 4\qquad\text{en}\qquad 2\varphi=\tfrac{1}{3}\pi+2k\pi$$ Zonder de inperking van $\varphi$ tot het interval $(-\pi, \pi]$ vinden we $$r=2\qquad\text{en}\qquad\varphi=\tfrac{1}{6}\pi+k\,\pi$$ met gehele getallen $k$. De oplossingen binnen de beperking van $\varphi$ zijn daarom: $$[r=2,\varphi= \tfrac{1}{6}\pi]\qquad\text{of}\qquad [r=2,\varphi= -\tfrac{5}{6}\!\pi]$$ In polaire vorm hebben we als complexe oplossingen voor de vergelijking $z^2=\alpha$ gevonden: $$z=2\,e^{\tfrac{1}{6}\!\pi\,\mathrm{i}}\qquad\text{of}\qquad z=2\,e^{-\tfrac{5}{6}\!\pi\,\mathrm{i}}$$ Als hoofdwaarde van $\sqrt{\alpha}$ kiezen we de eerste oplossing.