Complexe n-demachtswortels

Complexe getallen: Complexe machten, wortels en veeltermen

Complexe n-demachtswortels

We weten al dat complexe vierkantswortels en derdemachtswortels bestaan en dan is de stap naar $n$ -demachtswortels met $n\gt 3$ niet zo groot meer. Het algemene geval gaat namelijk op dezelfde manier.

Stel $n$ is een natuurlijk getal groter of gelijk aan 2.
Elk complex getal $z=r\cdot e^{\,\mathrm{i}\,\varphi}$ met $r=|z|>0$ en $-\pi<\varphi\le\pi$ heeft precies $n$ $n$ -demachtswortels, namelijk

$\sqrt[n]{z}=r^\tfrac{1}{n}\cdot e^{(\tfrac{1}{n}\varphi+\tfrac{2}{n}k\,\pi)\,\mathrm{i}}\quad\text{voor }k=0,1,\ldots,n-1$

Voor een willekeurige getal $z$ kunnen we de complexe $n$ -demachtswortelfunctie in polaire vorm definiëren:

$\begin{aligned}\sqrt[n]{z}&=\sqrt[n]{|z|}\cdot e^{\,\mathrm{i}\tfrac{1}{n}\mathrm{arg}(z)}\\ \\ \text{hoofdtak van }\sqrt[n]{z}&=\sqrt[n]{|z|}\cdot e^{\,\mathrm{i}\tfrac{1}{n}\mathrm{Arg}(z)}\end{aligned}$ In termen van de complexe exponentiële functie en logaritme kunnen we de complexe wortelfunctie gewoonweg definiëren als

$\sqrt[n]{z}=e^{\tfrac{1}{n}\ln(z)}$

Dus, als $z=r\cdot e^{\,\mathrm{i}\,\varphi}$ , met $r>0$ en $-\pi<\varphi\le\pi$ , dan is de hoofdwaarde van $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\cdot e^{\,\mathrm{i}\tfrac{1}{n}\varphi}$ .

Hieronder zijn de zeven 7-demachtswortels $\sqrt[7]{\alpha}$ getekend voor $\alpha=1.7+1.5\,\ii$ .
Hiervoor geldt:

$\begin{aligned}|\alpha|&=\sqrt{1.7^2+1.5^2}\approx 2.267\\ \arg(\alpha)&=\arctan\bigl(\frac{1.5}{1.7}\bigr)+2k\pi\approx 0.723+2k\pi\quad\text{voor gehele getallen }k\tiny.\end{aligned}$ Dus:

$\begin{aligned}\left|\sqrt[7]{\alpha}\right|&=\sqrt[7]{\left|\alpha\right|}\approx 1.124\\ \arg(\sqrt[7]{\alpha})&=\tfrac{1}{7}\arg(\alpha)\approx 0.103+\tfrac{2k\pi}{7}\quad\text{voor }k=0,1,\dots 6\tiny.\end{aligned}$ Samengevat:

$\sqrt[7]{1.7+1.5\,\ii}\approx 1.124\,e^{(0.103+\frac{2k\pi}{7})\,\ii}\quad\text{voor }k=0,1,\dots 6\tiny.$ Alle getekende wortels maken even veel aanspraak op de notatie $\sqrt[7]{\alpha}$ , maar in het eerste kwadrant van het complexe vlak is een speciale wortel (het dichtst liggend bij $1$ ) die we de hoofdwaarde van de 7-demachtswortel noemen.

Bereken exact de hoofdwaarde van $\sqrt[3]{\mathrm{i}}$ in polaire vorm.

Merk op dat

$\mathrm{i}= e^{\,\tfrac{1}{2}\pi\,\mathrm{i}}$ en dus

$\sqrt[3]{\mathrm{i}}= e^{(\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{1}{2}\pi\,\mathrm{i})}= e^{\,\tfrac{1}{6}\pi\,\mathrm{i}}$

Nieuw voorbeeld