Complexe getallen: Complexe machten, wortels en veeltermen
Kwadratische vergelijkingen oplossen in ℂ
Laten terugkeren naar waar we dit hoofdstuk mee begonnen zijn: we hebben de complexe eenheid \(\mathrm{i}\) ingevoerd om de vergelijking \(z^2=-1\) op te kunnen lossen. Maar dan kun je elke kwadratische vergelijking oplossen, zelfs als de discriminant negatief is. Eerst een paar voorbeelden ter illustratie:
We lossen de kwadratische vergelijking op via kwadraatafsplitsen: \[\begin{aligned}z^2+4\, z+5=0 &\qquad \color{blue}{\text{de gegeven vergelijking}}\\ \\ \left(z+2\right)^2+1=0 &\qquad\color{blue}{\text{kwadraatafsplitsen}}\\ \\ (z+2)^2=-1 &\qquad \color{blue}{\text{constante naar rechts}} \\ \\ z+2=\,\mathrm{i}\quad \lor\quad z+2=-\,\mathrm{i} &\qquad \color{blue}{\mathrm{i}^2=-1} \\ \\ z=-2+\,\mathrm{i}\quad \lor\quad z= -2-\,\mathrm{i}&\qquad \color{blue}{\text{oplossingen in standaardvorm}} \end{aligned}\] Hierboven hebben we de logische "of"-operator \(\lor\) gebruikt.
Er zijn dus twee oplossingen: \[z=-2+\,\mathrm{i}\quad\text{of}\quad z=-2-\,\mathrm{i}\]
Er zijn dus twee oplossingen: \[z=-2+\,\mathrm{i}\quad\text{of}\quad z=-2-\,\mathrm{i}\]
Het volgende voorbeeld laat zien dat de kwadratische vergelijking ook best complexe coëfficiënten mag hebben.
Los de volgende kwadratische vergelijking in \(\mathbb{C}\) op: \[z^2-8\, \ii\, z-17=0\]
We lossen de kwadratische vergelijking op via kwadraatafsplitsen: \[\begin{aligned}z^2-8\, \ii\, z-17=0 &\qquad \color{blue}{\text{de gegeven vergelijking}}\\ \\ \left(z-4\, \ii\right)^2-1=0 &\qquad\color{blue}{\text{kwadraatafsplitsen met }\ii^2=-1}\\ \\ (z-4\,\mathrm{i})^2=1 &\qquad\color{blue}{\text{constante naar rechts}} \\ \\z-4\,\mathrm{i}=1\quad \lor\quad z-4\,\mathrm{i}=-1 &\qquad\color{blue}{\text{worteltrekken}} \\ \\ z=1+4\,\mathrm{i}\quad \lor\quad z=-1+4\,\mathrm{i} &\qquad\color{blue}{\text{oplossingen in standaardvorm}}\end{aligned}\] Er zijn dus twee oplossingen: \[z=1+4\,\mathrm{i}\quad\text{of}\quad z=-1+4\,\mathrm{i}\]
Ontgrendel volledige toegang
