Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Eerstegraadsvergelijkingen met één onbekende
Het begrip eerstegraadsvergelijking met één onbekende
Oplossen van een lineaire vergelijking met één onbekende door herleiding Stel dat \(x\) het getal \(3\) voorstelt, dan geldt bijvoorbeeld: \(x+1=7-x\). Dit betekent dat \(x=3\) voldoet aan de vergelijking \(x+1=7-x\). Voor het getal 3 kun je nog veel meer vergelijkingen opschrijven waaraan het voldoet.
In praktijk is de situatie andersom: dan is \(x\) een nog onbekend getal dat voldoet aan de vergelijking \(x+1=7-x\) en ben je benieuwd naar de waarde van \(x\). Met andere woorden je wilt de vergelijking oplossen. Dit kan door herleiding, dat wil zeggen door steeds een gelijkwaardige vergelijking op te schrijven die eenvoudiger is dan de vorige maar wel dezelfde oplossing heeft en net zolang door de gaan tot je de vorm \(x=\ldots\) hebt bereikt. In het gekozen voorbeeld kan dat als volgt:
Oplossing van de vergelijking \(x+1=7-x\).
- Tel bij het linker- en rechterlid \(x\) op: \(\; x+1+x=7-x+x\),
hetgeen vereenvoudigt tot \(\;2x+1=7\) - Trek 1 van het linker- en rechterlid af: \(\; 2x+1-1=7-1\),
hetgeen vereenvoudigt tot \(\;2x=6\) - Deel het linker- en rechterlid door 2: \(\;2x\div 2=6\div 2\),
hetgeen vereenvoudigt tot \(\;x=3\)
De oplossing is dus \(x=3\).
De stappen in het oplossen door herleiding zijn:
- aan beide zijden dezelfde term optellen of aftrekken;
- beide zijden met hetzelfde getal ongelijk aan nul vermenigvuldigen of delen;
- gelijksoortige termen samenvoegen.
Bekijk nog meer voorbeelden van het oplossen van wat een eerstegraadsvergelijking met één onbekende of lineaire vergelijking met één onbekende heet.
1. tel bij linker- en rechterlid -4 op: \(\quad-3 x + 4 -4=25-4\quad\) oftewel \(\quad-3 x=21\)
2. deel het linker- en rechterlid door -3: \(\quad x=\frac{21}{-3}\quad\) oftewel \(\quad x=-7 \)
Conclusie: de exacte oplossing van de vergelijking \(\quad -3x+4=25\quad\) is \(\quad x=-7\)
Bovenstaande herleiding kan ook met minder woorden en de implicatiepijl \(\implies{}\!\!\!\), eventueel voorzien een label dat de bewerking van de vergelijking aangeeft, opgeschreven worden:
\[\begin{aligned}-3x+4=25 &\stackrel{\blue{-4}}{\implies} -3x + 4 -4=25-4\\ \\ &\implies -3x=21 \\ \\ &\stackrel{\blue{{}\div(-3)}}{\implies}\frac{-3 x}{-3}=\frac{21}{-3}\\ \\ &\implies x=-7\end{aligned}\]
Het kan gebeuren dat je uiteindelijk aanbelandt bij een vergelijking die onmogelijk waar kan zijn. Dit betekent dat de oorspronkelijke vergelijking (en alle herleidingen hiervan) geen oplossing heeft.
Voorbeeld met geen oplossingen Stel dat je de vergelijking \(-x+1=7-x\) probeert op te lossen. Als je bij de linker- en rechterkant \(x\) optelt, dan krijg je de vergelijking \(1=7\) die niet waar is in de verzameling van reële getallen. We zullen stilzwijgend aannemen in deze sectie dat we altijd vergelijkingen oplossen binnen de verzameling van reële getallen.
We eindigen deze theoriepagina met gangbare terminologie die we in het vervolg ook zullen gebruiken.
Algemene terminologie Laat \(x\) een variabele zijn.
Een lineaire vergelijking met onbekende \(x\) is een vergelijking die via elementaire operaties herleid kan worden tot een basisvorm \[ax+ b = 0\] waarbij \(a\) en \(b\) getallen zijn. We spreken ook wel van een eerstegraadsvergelijking met onbekende \(x\) en van een lineaire vergelijking in \(x\).
Er is geen unieke basisvorm: de vergelijkingen \(2x-2=0\) en \(x-1=0\) hebben beiden de basisvorm, maar zijn verschillend en kunnen toch door elementaire bewerkingen in elkaar overgevoerd worden.
Onder een elementaire bewerking verstaan we haakjes wegwerken, het hergroeperen van deeluitdrukkingen, het aan beide zijden van de vergelijking optellen en aftrekken van gelijke uitdrukkingen, of het aan beide zijden van de vergelijking vermenigvuldigen en delen met een getal ongelijk aan nul. We spreken van een elementaire herleiding als alle stappen in de herleiding elementaire bewerkingen zijn.
Een vergelijking bestaat uit twee delen: de uitdrukking links van het gelijkteken (\(=\)) heet het linkerlid of de linkerkant van de vergelijking (hierboven is dat \(ax+ b\)) en de uitdrukking rechts ervan heet het rechterlid of de rechterkant (hierboven is dat \(0\)).
De uitdrukkingen \(ax\) en \(b\) in het linkerlid van de basisvorm heten termen. Het getal \(a\) is de coëfficiënt van \(x\). Termen waarin de onbekende \(x\) niet staat heten constante termen, of kortweg constanten (hierboven zijn dat de getallen \(b\) en \(0\)).
Een getal \(s\) heet een oplossing van de vergelijking als invullen van \(x=s\) in de vergelijking een ware bewering oplevert. Alle waarden van \(x\) waarvoor de vergelijking waar is vormen de oplossing van de vergelijking.
Twee lineaire vergelijkingen heten gelijkwaardig of equivalent wanneer ze dezelfde oplossingen hebben omdat ze via elementaire bewerkingen in elkaar kunnen worden omgezet.
Om aan te geven dat twee vergelijkingen equivalent zijn kan het symbool \(\Leftrightarrow\) gebruikt worden; bijvoorbeeld \(4x=2\Leftrightarrow 2x=1\) en \(2x=1\Leftrightarrow x=\tfrac{1}{2}\).
Als twee vergelijkingen tot eenzelfde basisvorm herleid kunnen worden dan zijn ze equivalent.
