Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Eerstegraadsongelijkheden met één onbekende
Oplossen van een eerstegraadsongelijkheid door herleiding
De stappen in het oplossen van een eerstegraadsongelijkheid met één onbekende door herleiding zijn dezelfde als bij het oplossen van een eerstegraadsvergelijking door herleiding:
- aan beide zijden dezelfde term optellen of aftrekken;
- beide zijden met hetzelfde getal ongelijk aan nul vermenigvuldigen of delen;
- gelijksoortige termen samenvoegen.
\(L<R\) is gelijkwaardig met
\(L+A<R+A\) en met \(L-A<R-A\)
\(L>R\) is gelijkwaardig met
\(L+A>R+A\) en met \(L-A>R-A\)
Hierbij is \(A\) een willekeurige uitdrukking.
Voorbeeld
\[\begin{aligned} 2x+3&>4\\[0.25cm] 2x+3-3&>4-3\\[0.25cm] 2x&>1\end{aligned}\]
Als \(A>0\), dan is \(L<R\) is gelijkwaardig met
\(A\cdot L<A\cdot R\) en met \(\dfrac{L}{A}<\dfrac{R}{A}\)
Als \(A>0\), dan is \(L>R\) is gelijkwaardig met
\(A\cdot L>A\cdot R\) en met \(\dfrac{L}{A}>\dfrac{R}{A}\)
Als \(A<0\), dan is \(L<R\) is gelijkwaardig met
\(A\cdot L>A\cdot R\) en met \(\dfrac{L}{A}>\dfrac{R}{A}\)
Als \(A<0\), dan is \(L>R\) is gelijkwaardig met
\(A\cdot L<A\cdot R\) en met \(\dfrac{L}{A}<\dfrac{R}{A}\)
Hierbij is \(A\) een willekeurig getal ongelijk aan nul.
Voorbeelden
\[\begin{aligned} -x&< 1\\[0.25cm] (-1)\cdot (-x)&\gt(-1)\cdot 1\\[0.25cm] x&\gt -1\\[0.75cm]-2x&>4\\[0.25cm]\dfrac{-2x}{-2}&<\dfrac{4}{-2}\\[0.25cm] x&<2\end{aligned}\]
Als je voor \(x\) in de ongelijkheid \(L<R\) een oplossing invult, dan worden \(L\) en \(R\) getallen waarbij \(L\) links van \(R\) ligt op de getallenlijn. Als je beide getallen vermenigvuldigt met een getal \(A\) of deelt door \(A\), hangt het van het teken van \(A\) af of de onderlinge positie op de getallenlijn wel of niet verandert.
Stel bijvoorbeeld dat je na substitutie van \(x\) uitkomt op \(L=2\) en \(R=3\). Dan geldt dus \(L<R\) en ligt \(L\) links van \(R\) ligt op de getallenlijn. Als je in de ongelijkheid links en recht vermenigvuldigt met \(2\), krijg je \(4<6\) en dat is waar. Maar had je in plaats daarvan links en rechts in de ongelijkheid met \(-2\) vermenigvuldigt, dan krijg je \(-4<-6\) en dat is onjuist; de ware bewering is \(-4>-6\) en het vergelijkingsteken 'klapt om' omdat het getal dat eerst het meest links op de getallenlijn lag nu juist het meest rechts komt te liggen.
Met bovenstaande regels kun je lineaire ongelijkheden oplossen, dat wil zeggen herleiden tot ongelijkheden waarin de onbekende geïsoleerd is en links in een ongelijkheid staat.
In het algemeen zijn de oplossingen van \(ax+b<0\) met onbekende \(x\) als volgt te vinden.
|
\(\;\)geval
|
\(\;\)oplossingen
|
|
\(\;a>0\;\)
|
\(\;x<−\frac{b}{a}\;\)
|
|
\(\;a<0\;\)
|
\(\;x>−\frac{b}{a}\;\)
|
|
\(\;a=0\) en \(b\ge 0\;\)
|
\(\;\)geen oplossing\(\;\)
|
|
\(\;a=0\) en \(b<0\;\)
|
\(\;\)elk reëel getal \(x\;\)
|
Bovenstaande regel, en die bij andere ongelijkheidstekens, hoef je niet te onthouden, omdat de oplossingen eenvoudig te vinden zijn door herleiding.
Immers: \[\begin{aligned} -3x &\ge 9 &\quad \blue{\text{de gegeven ongelijkheid}} \\ \\ \frac{-3x}{-3} &\le \frac{9}{-3} &\quad \blue{\text{deling door }-3\text{ en omdat }-3<0}\\ &&\quad \blue{\text{klapt het vergelijkingsteken om}} \\ \\ x & \le -3 &\quad\blue{\text{vereenvoudiging}}\end{aligned}\]
