Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Een vergelijking van een rechte lijn in het vlak
Een lineaire vergelijking met twee onbekenden
Stel dat \(x\) het getal \(3\) voorstelt en \(y\) het getal \(2\). Dan geldt bijvoorbeeld: \(x+1=6-y\). Dit betekent dat \(x=3, y=2\) voldoet aan de vergelijking \(x+1=6-y\). Voor de getallen \(2\) en \(3\) kun je nog veel meer vergelijkingen opschrijven waaraan ze voldoen.
In praktijk is de situatie andersom: \(x\) en \(y\) zijn onbekende getallen die voldoen aan de vergelijking \(x+1=6-y\) en we zijn uit op het vinden van de mogelijke waarden van \(x\) en \(y\). Met andere woorden je wilt de vergelijking oplossen. Dan kan dit door herleiding, dat wil zeggen door steeds een gelijkwaardige vergelijking op te schrijven die eenvoudiger is dan de vorige maar wel dezelfde oplossing heeft. In het gekozen voorbeeld kan de vergelijking herleid worden tot \(y=5-x\) en dat betekent dat bij een willekeurig gekozen waarde voor \(x\), zeg \(x=a\), de waarde van \(y\) gegeven wordt door \(y=5-a\). De isolatie van de variabele \(y\) levert een lineaire formule op, d.w.z. een formule van de vorm \(y=ax+b\) met getallen \(a\) en \(b\).
Het gekozen voorbeeld is wel van een speciaal type: het betreft namelijk een lineaire vergelijking in \(x\) en \(y\). In deze sectie concentreren we ons op het geval van één lineaire vergelijking met twee onbekenden.
Algemene terminologie Laat \(x\) en \(y\) variabelen zijn.
Een lineaire vergelijking met onbekenden \(x\) en \(y\) is een vergelijking die via elementaire operaties herleid kan worden tot de basisvorm \[ax+by+c= 0\] waarbij \(a, b,\) en \(c\) reële getallen zijn. We spreken ook wel van een lineaire vergelijking in \(x\) en \(y\), en van een lineair verband tussen \(x\) en \(y\).
Er is geen unieke basisvorm: de vergelijkingen \(3x-2y+1=0\) en \(6x-4y+2=0\) hebben beiden de basisvorm, maar zijn verschillend en kunnen toch door elementaire bewerkingen in elkaar overgevoerd worden.
Onder een elementaire bewerking verstaan we haakjes wegwerken, het hergroeperen van deeluitdrukkingen, het aan beide zijden van de vergelijking optellen en aftrekken van gelijke uitdrukkingen, of het aan beide zijden van de vergelijking vermenigvuldigen en delen met een getal ongelijk aan nul. We spreken van een elementaire herleiding als alle stappen in de herleiding elementaire bewerkingen zijn.
De uitdrukking links van het gelijkteken (\(=\)) heet het linkerlid of de linkerkant van de vergelijking (hierboven is dat \(ax+ by + c\)) en de uitdrukking rechts ervan heet het rechterlid of de rechterkant (hierboven is dat \(0\)).
De uitdrukkingen \(ax, by\) en \(b\) in het linkerlid van de basisvorm heten termen. Het getal \(a\) heet de coëfficiënt van \(x\) en \(b\) is de coëfficiënt van \(y\). Termen waarin geen onbekende staat heten constante termen, of kortweg constanten (hierboven zijn dat de getallen \(b\) en \(0\)).
Een lijst van \(2\) getallen \([r,s]\) heet een oplossing van de vergelijking als invullen van \(x=r, y=s\) in de vergelijking een ware bewering oplevert. Alle waarden van \(x,y\) waarvoor de vergelijking waar is vormen de oplossing van de vergelijking.
Twee lineaire vergelijkingen heten equivalent (of ook wel gelijkwaardig) wanneer ze dezelfde oplossingen hebben omdat ze via elementaire bewerkingen in elkaar kunnen worden omgezet.
Als twee vergelijkingen tot eenzelfde basisvorm herleid kunnen worden dan zijn ze equivalent.
Door substitutie \(b=0\), \(a=2\) en \(c=3\) in bovenstaande basisvorm van een lineaire vergelijking krijg je \(2x+3=0\). De oplossing van deze vergelijking is \(x=-\frac{3}{2}\). Het is zelfs de oplossing: er zijn geen andere.
We zeggen dan dat \(x=-\frac{3}{2}\) de oplossing is van de vergelijking \(2x+3=0\).
De vergelijking \(x+2=-(x+1)\) is een equivalente lineaire vergelijking en heeft dus dezelfde oplossing.
Dit volgt uit onderstaande herleiding.
\[\begin{array}{rclcl} 5x+4y+6&=& 3x+7y+1 &\phantom{x}&\blue{\text{de gegeven vergelijking}}\\ \\5x+4y+6- 3x &=& 3x+7y+1 - 3x &\phantom{x}&\blue{\text{verschil van }3x\text{ aan weerszijden}}\\ \\ 2x+4y+6 &=& 7y+1 &\phantom{x}&\blue{\text{vereenvoudiging}}\\ \\2x+4y+6- 7y &=& 7y+1 - 7y &\phantom{x}&\blue{\text{verschil van }7y\text{ aan weerszijden}}\\ \\2x-3y+6 &=& 1 &\phantom{x}&\blue{\text{vereenvoudiging}}\\ \\2x -3y+6-1 &=& 1 -1&\phantom{x}&\blue{\text{verschil van } 1\text{ aan weerszijden}}\\ \\ 2x-3y+5 &=& 0&\phantom{x}&\blue{\text{vereenvoudiging}}\end{array}\] Dit is een basisvorm van de lineaire vergelijking.
