Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Een vergelijking van een rechte lijn in het vlak
Oplossing van een lineaire vergelijking met twee onbekenden
Bij eerstegraadsvergelijkingen hebben we gezien dat de vergelijking \(ax+b =0\) oplossing \(x=-\frac{b}{a}\) heeft, tenminste, als \(a\ne0\). Hierbij stellen \(a\) en \(b\) reële getallen voor, waarvoor vaak concrete waarden ingevuld werden. Maar zoals we al vaker gedaan hebben, kunnen we deze vergelijking én de oplossing zelfs opschrijven met \(a\) en \(b\) in deze algemene vorm. Als we dat doen, dan heten \(a\) en \(b\) parameters. Meer algemeen zijn parameters variabelen die in wiskundige uitdrukkingen voorkomen, maar geen rol spelen als onbekenden in een vergelijking. Ze staan meer voor geschikte getallen die nog niet nader bepaald zijn.
Het is daarbij wel belangrijk dat we \(x\) als onbekende aanmerken. We hadden ook \(a\) als onbekende kunnen zien, in welk geval de oplossing \(a=-\frac{b}{x}\) geweest zou zijn, ten minste, als \(x\ne0\).
Op dezelfde manier waarop we de algemene oplossing van een lineaire vergelijking met één onbekende beschreven hebben, kunnen we ook een lineaire vergelijking met twee onbekenden oplossen; hierbij behandelen we een zeker aantal onbekenden tijdelijk als parameters.
De lineaire vergelijking \(ax+by+c\), met onbekende \(x\) en \(y\), waarbij \(a\), \(b\) en \(c\) getallen of parameters zijn, kunnen we op de volgende twee manieren oplossen:
- Door \(y\) tijdelijk als parameter te zien: lossen we de lineaire vergelijking met onbekende \(x\) op, dan zien we dat \(x=-\frac{b}{a}y-\frac{c}{a}\). Dit kan alléén als \(a\ne0\); de oplossingen zijn dus alle paren \([x,y]\) die de vorm \([-\frac{b}{a}y-\frac{c}{a},y]\) hebben. Hier wordt de rol van \(y\) als parameter duidelijk: voor elke waarde van \(y\) is er precies één oplossing.
- Door \(x\) als parameter te zien: lossen we de lineaire vergelijking met onbekende \(y\) op, dan zien we dat \(y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\). Dit kan alléén als \(b\ne0\); de oplossingen zijn dus alle paren \([x,y]\) die de vorm \([x,-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}]\) hebben. Hier wordt de rol van \(x\) als parameter duidelijk: voor elke waarde van \(x\) is er precies één oplossing.
In beide gevallen noemen we het resultaat van isolatie van een variabele een lineaire formule. Het rechterlid speelt dan de rol van een functievoorschrift van een lineaire functie.
Als zowel \(a\ne0\) en \(b\ne0\), dan is er overlap tussen het eerste en tweede geval. Elk van de twee geeft een manier om de verzameling oplossingen te beschrijven. De eerste doet dat door \(x\) als functie van \(y\) te zien, de tweede door \(y\) als functie van \(x\) te zien. Exclusief voor het eerste geval is de verticale lijn die bij \(a=0\) optreedt, en voor het tweede geval de horizontale lijn die bij \(b=0\) optreedt.
We gaan te werk als bij het oplossen van een lineaire vergelijking met onbekende \(y\). We zien \(x\) dus als parameter.
\[\begin{array}{rclcl} 3 x+2 y&=&7&\phantom{xxxxx}&\blue{\text{de gegeven vergelijking}}\\ \\
2 y &=& 7- 3 x&\phantom{xxxxx}&\blue{\text{termen zonder }y\text{ naar de rechterkant}}\\ \\
y &=& \dfrac{7-3x}{2} &\phantom{xxxxx}&\blue{\text{deling door de coëfficiënt }2\text{ van }y}\\ \\
y &=& -{{3}\over{2}}x + {{7}\over{2}}&\phantom{xxxxx}&\blue{\text{vereenvoudiging en andere volgorde van termen}}
\end{array}\]
