Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen met twee onbekenden
Stelsels vergelijkingen oplossen via de substitutiemethode
De meest voor de hand liggende methode van oplossen van twee vergelijkingen met twee onbekende is de volgende.
Substitutiemethode
1. Los \(x\) op met \(y\) als parameter uit een van de twee vergelijkingen. Dat geeft een uitdrukking van \(x\) in termen van \(y\).
2. Substitueer die uitdrukking overal waar \(x\) staat in de andere vergelijking. Dan ontstaat er een lineaire vergelijking met als enige onbekende \(y\).
3. Los deze vergelijking op. Hierdoor is \(y\) bepaald.
4. Bepaal tenslotte \(x\) door de gevonden waarde van \(y\) in de vergelijking die begint met \(x=\) te substitueren.
Los het volgende stelsel vergelijkingen op: \[\left\{\;\begin{aligned}2x+3y &=1 \\ 3x+7y&=-1\end{aligned} \right.\]
- We gebruiken de eerste vergelijking om \(x\) in \(y\) uit te drukken: \[x = \tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}y\]
- We substitueren de uitdrukking voor \(x\) in de tweede vergelijking: \[3\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{5}{2}y\right)+7y = -1\]
- We lossen deze vergelijking met onbekende \(y\) op: haakjes wegwerken geeft \[\tfrac{3}{2}-\tfrac{5}{2}y=-1\] en dus \(\tfrac{5}{2}y = -\tfrac{5}{2}\), oftewel \(y=-1\).
- We vinden de waarde voor \(x\) door substitutie van \(y=-1\) in het resultaat van stap 1: \[ x=-\tfrac{3}{2}\times 1+\tfrac{1}{2}= \tfrac{4}{2}=2\]
De oplossing van het stelsel is dus \(x=2\) en \(y=-1\), ook wel genoteerd als \[x=2\quad\land\quad y=-1\] De oplossing van het stelsel is het snijpunt van de twee lijnen die de lineaire vergelijkingen voorstellen.
Niet altijd is er precies één oplossing; er zijn twee gevallen te onderscheiden:
- De twee vergelijkingen kunnen afhankelijk zijn, dat wil zeggen dat de ene vergelijking een veelvoud van de ander. Dit geval openbaart zich in stap 2: als we \(x\) uit de vergelijking elimineren, dan is het mogelijk dat ook \(y\) verdwijnt. Als de vergelijking dan \(0=0\) wordt, legt ze geen beperking op aan de oplossingsverzameling en kunnen we deze vergelijking wegnemen. Er blijft dan één vergelijking met twee onbekenden over. Het gaat in dit geval om twee lineaire vergelijkingen van een en dezelfde lijn.
- De vergelijkingen kunnen elkaar tegenspreken, in de zin dat geen enkele oplossing van de een ook oplossing van de ander is. Ook dit geval openbaart zich in stap 2: als we \(x\) uit de vergelijking elimineren, dan is het mogelijk dat ook \(y\) verdwijnt (zoals in het vorige geval). Maar dit keer krijgt de vergelijking de vorm \(0=c\) voor een getal \(c\) ongelijk aan nul. Aan deze vergelijking is nooit voldaan. Het antwoord is dus dat het stelsel geen oplossingen heeft. We spreken in zo'n geval van een strijdig stelsel. Het gaat in dit geval om twee lineaire vergelijkingen van parallelle lijnen.
Samenvattend: er zijn mogelijkheden voor een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden:
- precies één oplossing
- oneindig veel oplossingen, die samen punten op een lijn vormen
- geen oplossing
Voor wie nog meer voorbeelden wil bestuderen:
\[ \begin{array}{rclcl} 6 x+4 y=-8 & \land &-x-y=10 &\phantom{xxx}&\blue{\text{Vergelijkingen zo nodig verwisseld}}\\
&&&\phantom{xxx}&\blue{\text{zodat }x\text{ voorkomt in de eerste vergelijking}}\\
x ={\displaystyle -{{2 y}\over{3}}-{{4}\over{3}} }& \land &{\displaystyle -x-y=10 } &\phantom{xxx}&\blue{x\text{ uitgedrukt in }y\text{ in eerste vergelijking}}\\ \\
x ={\displaystyle -{{2 y}\over{3}}-{{4}\over{3}} } & \land & {\displaystyle {{4}\over{3}}-{{y}\over{3}}=10 } &\phantom{xxx}&\blue{x\text{ vervangen door de uitdrukking in }y}\\
&& &\phantom{xxx}&\blue{\text{uit de eerste vergelijking in de tweede }}\\
x = {\displaystyle -{{2 y}\over{3}}-{{4}\over{3}}} &\land & y = -26&\phantom{xxx}&\blue{\text{De tweede vergelijking opgelost}}\\ \\
x = 16 &\land & y = -26&\phantom{xxx}&\blue{\text{De gevonden waarde voor }y\text{ ingevuld}}\\
& & &\phantom{xxx}&\blue{\text{in de eerste vergelijking}}\\ \end{array}
\]
Het antwoord is dus \[x= 16\quad\land\quad y = -26\]
