Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen met twee onbekenden
Stelsels vergelijkingen oplossen via de veegmethode
De eliminatiemethode kan gesystematiseerd worden tot wat bekend staat als Gauss-eliminatie. De strategie is opnieuw om de vergelijkingen te bewerken; denk hierbij aan vermenigvuldiging van alle termen uit dezelfde vergelijking met een getal en het aftrekken van één vergelijking van een ander. Dit proces heet vegen met rijen en daarom noemt men deze aanpak ook wel de methode van vegen met rijen of kortweg de veegmethode.
Veegmethode
1. Zorg ervoor dat \(x\) in de eerste vergelijking voorkomt. Als dat niet het geval is, dan laten we de twee vergelijkingen van plaats verwisselen, zodat \(x\) wel weer in de eerste vergelijking voorkomt.
2. Vervang de tweede vergelijking door het verschil van deze vergelijking en een geschikt gekozen veelvoud van de eerste vergelijking, zodat \(x\) niet meer voorkomt in de tweede vergelijking.
3. Vervang de eerste vergelijking door het verschil van deze vergelijking met een geschikt veelvoud van de tweede vergelijking, zodat \(y\) niet meer in de eerste vergelijking voorkomt.
4. Door de eerste en tweede vergelijking elk met een geschikt getal te vermenigvuldigen, bereiken we dat het linkerlid \(x\) respectievelijk \(y\) wordt, waarmee de oplossing verschijnt.
We lichten dit toe aan de hand van het eerdere voorbeeld van een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in twee onbekenden.
Los het volgende stelsel vergelijkingen op: \[\left\{\;\begin{aligned}2x + 3y &= 1 \\ 3x + 7y &= -1\end{aligned} \right.\]
1. De onbekende \(x\) staat al in de bovenste vergelijking. We hoeven de vergelijkingen dus niet te verwisselen.
2. We trekken \(\tfrac{3}{2}\) maal de eerste vergelijking van de tweede af. Hierdoor verdwijnt de term met \(x\) en ontstaat de vergelijking \[7y-\tfrac{3}{2}\cdot 3y = -1-\tfrac{3}{2}\] oftewel \(\tfrac{5}{2}y=-\tfrac{5}{2}\) en dus \(y=-1\). Het gevonden equivalente stelsel vergelijkingen is \[\left\{\;\begin{aligned} 2x+3y &= 1 \\\phantom{2x+3}y &= -1\end{aligned} \right.\]
3. We trekken nu 3 maal de tweede vergelijking van de eerste af (zodat de term met \(y\) verdwijnt) en krijgen het stelsel \[\left\{\;\begin{aligned} 2x &= 4 \\ \phantom{2}y &= -1\end{aligned} \right.\]
4. We delen de eerste vergelijking door \(2\) om het stelsel \[\left\{\;\begin{aligned} x &= 2 \\ y &= -1\end{aligned} \right.\] te krijgen. Hiermee is het stelsel opgelost.
Mathcentre videos
Solving a System of Linear Equations (34:21)
\(\phantom{x}\)
Simultaneous Linear Equations - Animation (2:10)
