Het begrip lineaire vergelijking breiden we nu uit naar stelsels lineaire vergelijkingen.
Onder een stelsel lineaire vergelijkingen verstaan we één of meer lineaire vergelijkingen met één of meer onbekenden.
Een oplossing van het stelsel vergelijkingen is een lijst van waarden van de onbekenden die, ingevuld in elke vergelijking uit het stelsel, een oplossing geeft. Zo'n oplossing bestaat niet bij elk stelsel vergelijkingen: het stelsel \[ \left\{\;\begin{aligned} x + y\;&= 1 \\ x+ y\;&=2\end{aligned} \right.\] heeft bijvoorbeeld geen oplossing. Zo'n stelsel heet strijdig.
Het oplossen van een stelsel vergelijkingen is het bepalen van alle oplossingen. Het resultaat heet ook wel de oplossing.
Het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen gebeurt meestal door herleiding, dat wil zeggen door steeds een gelijkwaardig stelsel lineaire vergelijkingen op te schrijven die eenvoudiger is dan de vorige maar wel dezelfde oplossing heeft. Hierbij worden elementaire bewerkingen gebruikt: vermenigvuldiging van een vergelijking met een getal ongelijk aan nul, optelling van twee vergelijkingen en het verwisselen van twee vergelijkingen. We spreken van een elementaire herleiding als alle stappen in de herleiding elementaire bewerkingen zijn.
Twee stelsels lineaire vergelijkingen heten equivalent wanneer ze door elementaire herleiding in elkaar over te voeren zijn.
Wiskundigen spreken in het geval het stelsel strijdig is, ook wel van de lege oplossingsverzameling of kortweg van de lege oplossing. Wij doen dat niet in deze cursus; wij houden het op gewoonweg op geen oplossing.
We leggen meestal een volgorde van de onbekenden vast en schrijven oplossingen als lijsten met de waarden van de variabelen in de gegeven volgorde; maar andere notaties worden ook veel gebruikt.
Let op het verschil tussen een oplossing en de oplossing: de oplossing van de lineaire vergelijking \(x=x+y\) in de onbekenden \(x\) en \(y\) is \(y=0\), maar \(x=1 \land y=0\) is een oplossing.
De oplossing van een vergelijking met de twee onbekenden \(x\) en \(y\) is in het algemeen een lijn in het \(x,y\)-vlak. De oplossingen van twee vergelijkingen met twee onbekenden zijn de punten die zowel op de lijn bij de ene vergelijking als bij de andere horen. In het gegeven voorbeeld \[ \left\{\;\begin{aligned} x + y\;&= 1 \\ x+ y\;&=2\end{aligned} \right.\] is sprake van twee evenwijdige lijnen.
Bij herleiding worden gewoonlijk elementaire bewerkingen gebruikt. Dit zijn de volgende drie bewerkingen op stelsels van lineaire vergelijkingen:
- Het vermenigvuldigen van beide zijden van een vergelijking met hetzelfde getal ongelijk aan nul.
- Het optellen van een veelvoud van één vergelijking bij een van de andere vergelijkingen.
- Het verwisselen van twee vergelijkingen.
Later zullen we hier uitgebreider op ingaan.
Bekijk het stelsel \[\left\{\;\begin{aligned} 2x + 3y\;&= 1 \\ \phantom{2}x+\phantom{3}y\;&=1\end{aligned} \right.\] met onbekenden \(x\) en \(y\), dat we ook wel als \[{2 x +3y = 1 \quad \land\quad x +y =1 }\] schrijven. Hierbij is \(\land\) de logische "en" operator.
Het paar \[[x=2,y=-1]\] duidt een oplossing aan. Om in te zien dat dit inderdaad een oplossing is, vullen we dit in de vergelijkingen in: \[\left\{\begin{aligned} 2\times 2+3\times -1\;&=1 \\ \phantom{2\times} 2+\,\phantom{3\times} -\!1\;&=1\end{aligned} \right.\] Deze gelijkheden zijn waar, dus \([x=2,y=-1]\) is een oplossing. Deze oplossing schrijven we ook wel in de vorm \[[x,y]=[2,-1]\] en in de vormen \[x=2\quad\mathrm{en}\quad y=-1\] en \[x=2\quad\land\quad y=-1\] Het oplossen van het stelsel is het vinden van alle oplossingen. In dit geval zijn er niet meer oplossingen, zoals we hieronder aantonen.
\(\phantom{x}\)
Als we de tweede vergelijking tweemaal aftrekken van de eerste vergelijking dan krijgen we een nieuwe lineaire vergelijking, namelijk \(y=-1\). Het oorspronkelijke stelsel vergelijkingen is equivalent met \[\left\{\begin{aligned} \phantom{x+}y\;&=-1 \\ x+y\;&=\phantom{-}1\end{aligned} \right.\] Trekken we de eerste vergelijking van het nieuwe stelsel af van de tweede vergelijking, dan krijgen we het volgende equivalente stelsel: \[\left\{\begin{aligned} y\;&=-1 \\ x\;&=\phantom{-}2\end{aligned} \right.\] Omwisselen van de twee vergelijkingen geeft de oplossing in een vertrouwde volgorde van variabelen.
We bespreken hieronder hoe een stelsel lineaire vergelijkingen gezien kan worden als een stelsel vectorvergelijkingen.
Het stelsel vergelijkingen \[\left\{\;\begin{aligned} 2x + 3y\;&= 1 \\ \phantom{2}x+\phantom{3}y\;&=1\end{aligned} \right.\] kun je ook in vectorvorm opschrijven als \[x\cdot\!\!\cv{2\cr 1\cr}+y\cdot\!\!\cv{3\cr 1\cr}= \cv{1\cr 1\cr}\] In deze gedaante is het oplossen van het stelsels niets meer en niet minder dat het vinden van de beschrijving van de vector \(\cv{1\cr 1\cr}\) als lineaire combinatie van de vectoren\(\cv{2\cr 1\cr}\) en \(\cv{3\cr 1\cr}\).
We laten zien waarom het stelsel lineaire vergelijkingen equivalent is met de vergelijking in vectorvorm. Er geldt
\[ x\cdot\!\!\cv{2\cr 1\cr}+y\cdot\!\!\cv{3\cr 1\cr}= \cv{2x\cr x\cr}+\cv{3y\cr y\cr} =\cv{2x+3y\cr x+y\cr}\]
De vectorvergelijking kan dus geschreven worden als
\[\cv{2x+3y\cr x+y\cr}=\cv{1\cr 1\cr}\]
Dit komt neer op gelijkheid per coördinaat:
\[\left\{\;\begin{aligned} 2x + 3y\;&= 1 \\ \phantom{2}x+\phantom{3}y\;&=1\end{aligned} \right.\]
Zo hebben we het oorspronkelijke stelsel vergelijkingen teruggevonden.
We zullen zien dat een probleem in de lineaire algebra uiteindelijk vaak leidt tot het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen. Daarom schenken we ruim aandacht aan het vinden van oplossingen.
Een stelsel lineaire vergelijkingen kan ook meer vergelijkingen dan onbekenden hebben: we geven een voorbeeld van twee vergelijkingen met één onbekende (onderaan de pagina herhaald te genereren) Je kunt zien dat er in dit geval drie mogelijkheden zijn:
- Er is géén oplossing: de vergelijkingen kunnen strijdig zijn. Dat betekent dat geen enkele oplossing van de één ook een oplossing van de ander is. Ook kan het zijn dat een van de vergelijkingen geen oplossing heeft.
- Er is precies één oplossing.
- Er is meer dan één oplossing: in dit geval zijn er zelfs oneindig veel oplossingen omdat alle waarden van de onbekende dan voldoen.
We hebben eerder al gezien dat het stelsel \[ \left\{\;\begin{aligned} x + y\;&= 1 \\ x+ y\;&=2\end{aligned} \right.\] strijdig is.
Het stelsel \[ \left\{\;\begin{aligned} x \;&= 1 \\ y\;&=2\end{aligned} \right.\] met onbekenden \(x\) en \(y\) heeft precies één oplossing.
Het stelsel \[ \left\{\;\begin{aligned} x \;&= x \\ y\;&=3\end{aligned} \right.\]
heeft meer dan één oplossing: voor elke waarde \(a\) van \(x\) is het paar #\rv{x,y} = \rv{a,3}# een oplossing.
Los \(x\) op in het stelsel vergelijkingen \[\lineqs{9 x + 4 &=& 6x+7 \cr 3 x + 3 &=& 2 x +4 \cr}\]
Er staan twee lineaire vergelijkingen met dezelfde onbekende, namelijk #x#. Die kunnen we afzonderlijk oplossen: \[\lineqs{ x &=& 1\cr x &=& 1\cr }\]Een blik op de twee afzonderlijke oplossingen levert dat er één oplossing is. Het antwoord is dus #x=1#.
Het begrip stelsel lineaire vergelijkingen
