Complexe getallen: Complexe machten, wortels en veeltermen
De abc-formule
We kijken nu weer terug naar een kwadratische veelterm met reële coëfficiënten. Stel \(a\), \(b\) en \(c\) zijn reële getallen met \(a\neq 0\).
Discriminant De discriminant van de kwadratische vergelijking \(a\,z^2+b\,z+c = 0\) met reële coëfficiënten \(a\ne 0\), \(b\) en \(c\) is gedefinieerd als het getal \(b^2-4\cdot a \cdot c\).
De reden dat we de discriminant (in het vervolg met de letter \(D\) aangeduid) invoeren is dat we nu eenvoudig kunnen formuleren hoeveel reële oplossingen de kwadratische vergelijking heeft en, indien oplossingen bestaan, welke dat dan precies zijn. De volgende stap is om de discriminant ook te gebruiken in een formule voor complexe oplossingen.
De formule hieronder heet de abc-formule voor complexe oplossingen van een reële kwadratische veelterm.
De abc-formule voor complexe oplossingen van een reële veelterm De kwadratische vergelijking \(a\,z^2+b\,z+c = 0\) met onbekende \(z\) en discriminant \(D=b^2-4ac\) heeft:
- twee reële oplossingen als \(D\gt 0\), namelijk \(z=\dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}\) en \(z=\dfrac{-b+ \sqrt{D}}{2a}\).
- precies één reële oplossing als \(D=0\), namelijk \(z=-\dfrac{b}{2a}\).
- geen reële oplossingen als \(D\lt 0\).
- twee complexe oplossingen als \(D\lt 0\), namelijk \(z=\dfrac{-b - \sqrt{-D}\,\mathrm{i}}{2a}\) en \(z=\dfrac{-b+ \sqrt{-D}\,\mathrm{i}}{2a}\).
De oplossingen worden vaak samen genomen door gebruik te maken van de \(\pm\) notatie; dus \[z=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\] waarbij we moeten bedenken dat de wortel van een negatief getal een imaginair getal is.
Het is zelfs nog mooier: de abc-formule is zelfs geldig voor complexe getallen \(a\), \(b\) en \(c\) met \(a\neq 0\). Als je in de formule moet worteltrekken moet dan dan wel misschien doen voor een complex getal, maar we weten ondertussen hoe dat moet.
\(\phantom{x}\)
De abc-formule toegepast in de context van complexe getallen laat zien dat elke complexe kwadratische functie twee nulpunten heeft (als je tenminste samenvallende nulpunten dubbel telt). Dit resultaat laat zich generaliseren tot de hoofstelling van de algebra.
Hoofdstelling van de algebra Bij elke veelterm \[p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0\] van graad \(n\) bestaan er \(n\) complexe getallen \(z_1, \ldots,z_n\) zodanig dat \[p(z)=a_n(z-z_1)\cdots(z-z_n)\] Er zijn dus \(n\) nulpunten (met mogelijke dubbeltellingen).
