Complexe getallen: Complexe machten, wortels en veeltermen
Kwadratische vergelijkingen oplossen in ℂ
Laten terugkeren naar waar we dit hoofdstuk mee begonnen zijn: we hebben de complexe eenheid \(\mathrm{i}\) ingevoerd om de vergelijking \(z^2=-1\) op te kunnen lossen. Maar dan kun je elke kwadratische vergelijking oplossen, zelfs als de discriminant negatief is. Eerst een paar voorbeelden ter illustratie:
We lossen de kwadratische vergelijking op via kwadraatafsplitsen: \[\begin{aligned}z^2-10\, z+26=0 &\qquad \color{blue}{\text{de gegeven vergelijking}}\\ \\ \left(z-5\right)^2+1=0 &\qquad\color{blue}{\text{kwadraatafsplitsen}}\\ \\ (z-5)^2=-1 &\qquad \color{blue}{\text{constante naar rechts}} \\ \\ z-5=\,\mathrm{i}\quad \lor\quad z-5=-\,\mathrm{i} &\qquad \color{blue}{\mathrm{i}^2=-1} \\ \\ z=5+\,\mathrm{i}\quad \lor\quad z= 5-\,\mathrm{i}&\qquad \color{blue}{\text{oplossingen in standaardvorm}} \end{aligned}\] Hierboven hebben we de logische "of"-operator \(\lor\) gebruikt.
Er zijn dus twee oplossingen: \[z=5+\,\mathrm{i}\quad\text{of}\quad z=5-\,\mathrm{i}\]
Er zijn dus twee oplossingen: \[z=5+\,\mathrm{i}\quad\text{of}\quad z=5-\,\mathrm{i}\]
Het volgende voorbeeld laat zien dat de kwadratische vergelijking ook best complexe coëfficiënten mag hebben.
Los de volgende kwadratische vergelijking in \(\mathbb{C}\) op: \[z^2+2\, \ii\, z-5=0\]
We lossen de kwadratische vergelijking op via kwadraatafsplitsen: \[\begin{aligned}z^2+2\, \ii\, z-5=0 &\qquad \color{blue}{\text{de gegeven vergelijking}}\\ \\ \left(z+\ii\right)^2-4=0 &\qquad\color{blue}{\text{kwadraatafsplitsen met }\ii^2=-1}\\ \\ (z+\mathrm{i})^2=4 &\qquad\color{blue}{\text{constante naar rechts}} \\ \\z+\mathrm{i}=2\quad \lor\quad z+\mathrm{i}=-2 &\qquad\color{blue}{\text{worteltrekken}} \\ \\ z=2-\mathrm{i}\quad \lor\quad z=-2-\mathrm{i} &\qquad\color{blue}{\text{oplossingen in standaardvorm}}\end{aligned}\] Er zijn dus twee oplossingen: \[z=2-\mathrm{i}\quad\text{of}\quad z=-2-\mathrm{i}\]
Ontgrendel volledige toegang
