Complexe getallen: Complexe machten, wortels en veeltermen
Kwadratische vergelijkingen oplossen in ℂ
Laten terugkeren naar waar we dit hoofdstuk mee begonnen zijn: we hebben de complexe eenheid \(\mathrm{i}\) ingevoerd om de vergelijking \(z^2=-1\) op te kunnen lossen. Maar dan kun je elke kwadratische vergelijking oplossen, zelfs als de discriminant negatief is. Eerst een paar voorbeelden ter illustratie:
We lossen de kwadratische vergelijking op via kwadraatafsplitsen: \[\begin{aligned}z^2+6\, z+18=0 &\qquad \color{blue}{\text{de gegeven vergelijking}}\\ \\ \left(z+3\right)^2+9=0 &\qquad\color{blue}{\text{kwadraatafsplitsen}}\\ \\ (z+3)^2=-9 &\qquad \color{blue}{\text{constante naar rechts}} \\ \\ z+3=3\,\mathrm{i}\quad \lor\quad z+3=-3\,\mathrm{i} &\qquad \color{blue}{\mathrm{i}^2=-1} \\ \\ z=-3+3\,\mathrm{i}\quad \lor\quad z= -3-3\,\mathrm{i}&\qquad \color{blue}{\text{oplossingen in standaardvorm}} \end{aligned}\] Hierboven hebben we de logische "of"-operator \(\lor\) gebruikt.
Er zijn dus twee oplossingen: \[z=-3+3\,\mathrm{i}\quad\text{of}\quad z=-3-3\,\mathrm{i}\]
Er zijn dus twee oplossingen: \[z=-3+3\,\mathrm{i}\quad\text{of}\quad z=-3-3\,\mathrm{i}\]
Het volgende voorbeeld laat zien dat de kwadratische vergelijking ook best complexe coëfficiënten mag hebben.
Los de volgende kwadratische vergelijking in \(\mathbb{C}\) op: \[z^2-2\, \ii\, z-10=0\]
We lossen de kwadratische vergelijking op via kwadraatafsplitsen: \[\begin{aligned}z^2-2\, \ii\, z-10=0 &\qquad \color{blue}{\text{de gegeven vergelijking}}\\ \\ \left(z-\ii\right)^2-9=0 &\qquad\color{blue}{\text{kwadraatafsplitsen met }\ii^2=-1}\\ \\ (z-\mathrm{i})^2=9 &\qquad\color{blue}{\text{constante naar rechts}} \\ \\z-\mathrm{i}=3\quad \lor\quad z-\mathrm{i}=-3 &\qquad\color{blue}{\text{worteltrekken}} \\ \\ z=3+\mathrm{i}\quad \lor\quad z=-3+\mathrm{i} &\qquad\color{blue}{\text{oplossingen in standaardvorm}}\end{aligned}\] Er zijn dus twee oplossingen: \[z=3+\mathrm{i}\quad\text{of}\quad z=-3+\mathrm{i}\]
Ontgrendel volledige toegang
