Matrixrekening: Matrices
De geadjungeerde matrix en de regel van Cramer
Stel dat \(A\) een (\(n\times n\))-matrix is. Voor elke index \((i,j)\) kun je de (\((n-1)\times(n-1)\))-matrix \(M_{ij}\) maken door in \(A\) de \(i\)-de rij en \(j\)-de kolom te schrappen. De determinant \(\det(M_{ij})\) heet de (\(i,j\))-minor van het element \(a_{ij}\) van \(A\). De cofactor van het element \(a_{ij}\), genoteerd met \(A_{ij}\), is de (\(i,j\))-minor voorzien een teken: \[A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot\det(M_{ij})\] Als we deze cofactoren in een matrix samenbrengen en van deze matrix de getransponeerde nemen, dan ontstaat de geadjungeeerde matrix \[\mathrm{adj}(A)=\matrix{A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}}\]
\(\mathrm{adj}(A)={}\)\(\matrix{-3 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ }\)
We bekijken de matrix \(A=\matrix{1 & 2 & 0 \\ -1 & -3 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ }\). De cofactoren van de negen elementen van \(A\) zijn: \[\small\begin{array}{rclcrrclcrrclcr}
A_{11}&=&{+}\begin{vmatrix}-3 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}&=&-3,
&A_{12}&=&{-}\begin{vmatrix}-1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}&=&1,
&A_{13}&=&{+}\begin{vmatrix}-1 & -3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}&=&0\\
A_{21}&=&{-}\begin{vmatrix}-1 & -3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}&=&0,
&A_{22}&=&{+}\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}&=&0,
&A_{23}&=&{-}\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}&=&-1\\
A_{31}&=&{+}\begin{vmatrix}2 & 0 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}&=&2,
&A_{32}&=&{-}\begin{vmatrix}1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}&=&-1,
&A_{33}&=&{+}\begin{vmatrix}1 & 2 \\ -1 & -3 \end{vmatrix}&=&1
\end{array} \]
We nemen de getransformeerde van de matrix van cofactoren om de geadjungeerde matrix \[\mathrm{adj}(A)=\matrix{-3 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ }\] te verkrijgen
We kunnen de determinant van de matrix \(A\) berekenen via Laplace-expansie; bijvoorbeeld \[\begin{aligned} |A| & =a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13} \\[0.25cm] &= 1\times -3 +2\times 1+0\times 0\\[0.25cm] &= -1\end{aligned}\] Merk op dat \[\begin{aligned}A\cdot \mathrm{adj}(A)&=\matrix{1 & 2 & 0 \\ -1 & -3 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ }\cdot \matrix{-3 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ }\\[0.25cm] &= \matrix{ -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1}\\[0.25cm] &=-1 \matrix{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}\\[0.25cm] &=|A|\,I\end{aligned}\] waarbij \(I\) de \((3\times 3)\) identiteitsmatrix is.
Dus: \[A^{-1}=\frac{1}{|A|}\,\mathrm{adj}(A)=\matrix{3 & 0 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ }\]
Regel van Cramer Stel dat we een stelsel hebben met \(n\) lineaire vergelijkingen in \(n\) onbekenden: \[\left\{\;\begin{array}{llllllllll} a_{11}x_1 \!\!\!\!&+&\!\! a_{12}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{1n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_1\\ a_{21}x_1 \!\!&+&\!\! a_{22}x_2 \!\!&+&\!\! \cdots \!\!&+&\!\!\!\! a_{2n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_2\\ \vdots &&\vdots &&&& \vdots&&\!\!\!\!\vdots\\ a_{n1}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{n2}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{nn}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_n\end{array}\right.\] Dit kan ook geschreven worden m.b.v. matrix-vector vermenigvuldiging als \[\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}b_1\\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}\] of kortweg als \[A\vec{x}=\vec{b}\] met \[A=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}, \qquad \vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}\] We veronderstellen dat de determinant van \(A\) , genoteerd met \(D=|A|\), ongelijk aan nul is zodat de matrix \(A\) inverteerbaar is en er precies één, oplossing van het stelsel is, namelijk \[\vec{x}=A^{-1}\vec{b}=\frac{1}{D}\mathrm{adj}(A)\,\vec{b}\] Stel nu dat \(A_j(\vec{b})\) de matrix is verkregen uit \(A\) door de \(j\)-de kolom van \(A\) te vervangen door de kolomvector \(\vec{b}\). Stel dat \(D_j\) de determinant is van \(A_j(\vec{b})\), d.w.z., \(D_j=|A_j(\vec{b})|\). Dan wordt de unieke oplossing van het stelsel lineaire vergelijkingen gegeven door \[x_1=\frac{D_1}{D},\quad x_2=\frac{D_2}{D}, \quad\ldots\quad x_n=\frac{D_n}{D}\]
De bijpassende matrix \(A\) is gelijk aan \[\left(\begin{array}{cc}
4 &-3 \\
4 &-6
\end{array}\right)\]
Dan geldt voor de determinant \(D\) van \(A\): \[D=(4)\times (-6) - (-3)\times (4)=-12\]
Vervang de eerste kolom in \(A\) door \(\cv{-1\\4}\): \(A_1\left(\cv{-1\\4}\right)=\left(\begin{array}{cc} -1 &-3 \\ 4 &-6
\end{array}\right)\)
Dus: \(D_1=\left|\begin{array}{cc} -1 &-3 \\ -1 &-6
\end{array}\right|=(-1)\times (-6) - (-3)\times (4)=18\)
Vervang de tweede kolom in \(A\) door \(\cv{-1\\4}\): \(A_2\left(\cv{-1\\4}\right)=\left(\begin{array}{cc} 4 &-1 \\ 4 &4
\end{array}\right)\)
Dus: \(D_2=\left|\begin{array}{cc} 4 &-1 \\ 4 &4
\end{array}\right|=(4)\times (4) - (-1)\times (4)=20\)
Volgens de regel van Cramer: \[x=\frac{D_1}{D}=\frac{18}{-12}=-{{3}\over{2}}\quad\text{en}\quad y=\frac{D_2}{D}=\frac{20}{-12}=-{{5}\over{3}}\] De oplossing is dus \[\cv{x\\y} = \cv{-\frac{3}{2}\\-\frac{5}{3}}\]
