\(x<-3 \lor x > 1\)

We hebben de ongelijkheid \[x^2-3 > -2 x\] maar eerst lossen we onderstaande gelijkheid op: \(x^2-3 = -2 x \) oftwel \( x^2+2 x-3 =0\). Dit doen we m.b.v. de abc-formule:
\[\begin{aligned} x&=\frac{-2\pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot -3}}{2}\\ \\ &=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}\\ \\ &=\frac{-2\pm 4}{2}\end{aligned}\] Dus: \[x=-3\quad \text{of}\quad x=1\] Nu moeten we kijken wanneer de ongelijkheid van kracht is. Eerst nemen we een waarde \(x<-3\), bijvoorbeeld \(x=-5\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde: \[(-5)^2-3=22\] Het rechterlid heeft als waarde \[-2 \cdot -5=10\] dus voor \(x<-3\) geldt dat \(x^2-3 > -2 x\). Nu kiezen we een waarde \(-3<x<1\), bijvoorbeeld \(x=-2\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde \[(-2)^2-3=1\] Het rechterlid van de ongelijkheid heeft dan de waarde \[-2\cdot -2=4\] Dus voor \(-3<x<1\) is \(x^2-3 < -2 x\). Nu kiezen we nog een waarde \(x>1\), bijvoorbeeld \(x=2\). Dan heeft het linkerlid de waarde \[(2)^2-3=1\] en het rechterlid heeft de waarde \[-2 \cdot 2=-4\] Dus voor \(x>1\) is \(x^2-3>-2 x\). We weten nu dus dat \[x^2-3 > -2 x\] als \(x<-3\) of \(x>1\).