\(x<-4 \lor x > 2\)

We hebben de ongelijkheid \[x^2-8 > -2 x\] maar eerst lossen we onderstaande gelijkheid op: \(x^2-8 = -2 x \) oftwel \( x^2+2 x-8 =0\). Dit doen we m.b.v. de abc-formule:
\[\begin{aligned} x&=\frac{-2\pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot -8}}{2}\\ \\ &=\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}\\ \\ &=\frac{-2\pm 6}{2}\end{aligned}\] Dus: \[x=-4\quad \text{of}\quad x=2\] Nu moeten we kijken wanneer de ongelijkheid van kracht is. Eerst nemen we een waarde \(x<-4\), bijvoorbeeld \(x=-6\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde: \[(-6)^2-8=28\] Het rechterlid heeft als waarde \[-2 \cdot -6=12\] dus voor \(x<-4\) geldt dat \(x^2-8 > -2 x\). Nu kiezen we een waarde \(-4<x<2\), bijvoorbeeld \(x=-3\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde \[(-3)^2-8=1\] Het rechterlid van de ongelijkheid heeft dan de waarde \[-2\cdot -3=6\] Dus voor \(-4<x<2\) is \(x^2-8 < -2 x\). Nu kiezen we nog een waarde \(x>2\), bijvoorbeeld \(x=3\). Dan heeft het linkerlid de waarde \[(3)^2-8=1\] en het rechterlid heeft de waarde \[-2 \cdot 3=-6\] Dus voor \(x>2\) is \(x^2-8>-2 x\). We weten nu dus dat \[x^2-8 > -2 x\] als \(x<-4\) of \(x>2\).