\(x<1 \lor x > 6\)

We hebben de ongelijkheid \[x^2+6 > 7 x\] maar eerst lossen we onderstaande gelijkheid op: \(x^2+6 = 7 x \) oftwel \( x^2-7 x+6 =0\). Dit doen we m.b.v. de abc-formule:
\[\begin{aligned} x&=\frac{7\pm \sqrt{(7)^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2}\\ \\ &=\frac{7\pm \sqrt{25}}{2}\\ \\ &=\frac{7\pm 5}{2}\end{aligned}\] Dus: \[x=1\quad \text{of}\quad x=6\] Nu moeten we kijken wanneer de ongelijkheid van kracht is. Eerst nemen we een waarde \(x<1\), bijvoorbeeld \(x=-1\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde: \[(-1)^2+6=7\] Het rechterlid heeft als waarde \[7 \cdot -1=-7\] dus voor \(x<1\) geldt dat \(x^2+6 > 7 x\). Nu kiezen we een waarde \(1<x<6\), bijvoorbeeld \(x=2\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde \[(2)^2+6=10\] Het rechterlid van de ongelijkheid heeft dan de waarde \[7\cdot 2=14\] Dus voor \(1<x<6\) is \(x^2+6 < 7 x\). Nu kiezen we nog een waarde \(x>6\), bijvoorbeeld \(x=7\). Dan heeft het linkerlid de waarde \[(7)^2+6=55\] en het rechterlid heeft de waarde \[7 \cdot 7=49\] Dus voor \(x>6\) is \(x^2+6>7 x\). We weten nu dus dat \[x^2+6 > 7 x\] als \(x<1\) of \(x>6\).